液体的流动
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G B
C
A
D
h1
E
h2
F
8
实际液体的流动
一、层流和湍流
缓慢的水流
1. 层流(Laminar flow） 液体分层流动的运动状态称为层流 。 流体间流速不同是因为存在内摩擦。
2. 湍流（turbulent flow）
分层流动的流体速度超过一定的 数值时，流体将不再保持分层流动， 外层的流体粒子不断卷入内层，而形 成旋涡，整个流动显得杂乱而不稳定，
结论： 流体的流速和管的横 截面积成反比，粗处流速慢， 细处流速快。 S v= V体积 /t = Q ……流量
意义：单位时间内流过横截 面的液体体积。 条件：①不可压缩 ②稳定流动 ③同一流管
血流速度分布
血流速度分布
为什么 血液在大动脉中流速最快， 在毛细血管内流速最慢。 血液为不可压缩液体作稳定流动。
1. 若虹吸管的内径为3×10-2 m, 求从虹吸管流出 水的体积流量。 2. 求虹吸管内B、C两处的压强。
1. 求流量
解:水面为参考面, 则有A、 B点的高度为零, C点的高 度为2.5m, D点的高度为 4.5m.
取虹吸管为细流管, 对于A、D两点, 根据柏努利方程有
1 2 1 2 ghA v A p A ghD v D pD 2 2
在自然界、工程技术和我们的日常生活中,存在 着许多与容器排水相关的问题,如水库放水(泻洪与发 电)、水塔经管道向城市供水及用吊瓶给患者输液等, 其共同的特点是液体从大容器经小孔流出。
水电站
水库大坝
铜壶滴漏
西汉时期的计时工具，亦
称水钟。用铜壶滴漏计时,使水
从高度不等的几个容器里依次滴 下来,最后滴到最低的有浮标的 容器里,根据浮标上的刻度也就 是根据最低容器里的水位来读取
v2 =2(PB-PA)/ρ
=2gh
问题:
气体流速如何测量
A、B两点近似为同 高点， PA+0=PB+ρv2/2
PA－PB= ρ'gh
ρ'是液体密度 ρ是气体密度
流量计原理
在两截面中心处做流线（细流管），如高度相等 P1+ ρv12 / 2 =P2+ρv22/2 S1v1=S2v2 h P1－P2= ρgh 联立求解
这种流动称为湍流。
湍流能发出声音，消耗的能量 比层流多。 心音是心脏瓣膜开启和关 闭发出的湍流声。
火山爆发
核爆蘑菇云
二、雷诺数
英国工程师雷诺(Reynold) 1883年发现：
r：管半径 Re称为雷诺数
30cm/s 速度 900cm2 5cm/s 速度 面积 3cm2 主动脉 1mm/s 毛细血管 18cm2 腔静脉
当液体从一个管流入多个支管时， 根据流量相等
的原则： Sv = S1v1+S2v2+ S3v3+… 注意：这时主管和支
来自百度文库
管之间不存在速度和
面积的反比关系。
2、理想流体的柏努利方程
1738年柏努利提出了著 名的柏努利方程。
2. 求B点压强：对于同一流线 上A、B两点, 应用柏努利方程
1 2 1 2 p A v A pB v B 2 2 1 2 pB p0 vB 2
根据连续性方程可知, 均匀虹吸管内, 水的速率处 处相等, vB=vD 1 5 pB 1.013 10 1.0 103 9.42 5.7 104 Pa 2 结果表明：在高度不变的情况下(A、B两点), 流速大处 （B点）压强小, 流速小处（A点）, 压强大。B点压强 小于大气压, 水能够进入虹吸管。
飞 流 直 下 三 千 尺 ， 疑 是 银 河 落 九 天 。
B C
流线形状会发生 变化，但不会相交， 具有瞬时性。
流线的照片
若流体中流线上各点的流速都不随时间变化， 则这样的流动称为稳定流动(steady flow)。
4、流管
在稳定流动的流体中任选截面s，并且通过它 的周边各点作流线，由这些流线所组成的管状体就
求C点压强
对于同一流线上的C、D两点, 应用柏努利方程有 1 2 1 2 pC vC ghC pD v D ghD 2 2 均匀虹吸管内,水的速率处处相等, vC=vD , 整理得
pC p0 g(hD hC )
1.013 105 1.0 103 9.8 ( 4.5 2.5)Pa 3.2 104 Pa 虹吸管最高处C点的压强比 入口处B点的压强低, 正是因为 这一原因, 水库的水才能上升到 最高处, 从而被引出来。
— 柏努利方程
丹.柏努利（Daniel Bernoull, 1700-1782) 瑞士科学家
下面给出推导： 条件：
流管极细
时间极短
①外力作功：W=F1L1- F2L2= P1S1L1-P2S2L2 若为理想流体，其体积相同，令 ：
S1L1= S2L2 = V
∴ W=（ P1-P2）V
②机械能的改变量：△E = △Ek+ △Ep
F 1 2 ρ v2 S 2
v2 9.67m/s
V 解② Q t
Q s2v2
V s 2v 2 t
V 50 106 t 10.3秒 4 s2v 2 9.67 0.005 10
例2 用一根跨过水坝的粗细
均匀的虹吸管, 从水库里取水, 如图所示。已知虹吸管的最高 点C比水库水面高2.5m, 管口出 水处D比水库水面低4.5m,设水 在虹吸管内作定常流动。
时间。
铜壶滴漏
小孔流速
在一个圆面积为s1大水桶的侧面，有一面积为s2的 圆孔，孔在水面下h处，求水在小圆孔中流出的流速。
s1 解： 取如图所示的流管（线）
由柏努利方程 h s2
1 2 p1 v1 gh1 2 1 2 p2 v2 gh2 2
令 h2 0
代入上式
地铁安全线
旋转球（香蕉球）
直接任意球
香蕉球原理
只平动(向下)
只旋转
平动加旋转
飞机的升力
空气流高速、压强较低 升力
空气流低速、压强较高
流速计原理
1. 动压强和静压强 在力学中选择长度L、时间T、质量M为基本量， 其余量为导出量。 量纲：表示导出量和基本量之间关系的量.
[Q]=L M T
p q r
[ s] L 例 [v] LT 1 [t ] T 1 [v] LT 2 [a] LT [t ] T
[F ] [m][a] MLT 2
柏努利方程
[ F ] MLT 2 [P] ML1T 2 [S] L2 2 2 1 2 [m] 2 ML T 1 2 [ v ] [v] ML T 3 2 [V ] L [m ] MLT L 1 2 [ gh] [ g ][ h] ML T 3 [V ] L
△E k =
m2v22/2 - m1v12/2
m2gh2 - m1gh1
△ E p=
③若不考虑内摩擦，由功能原理知
（ P1- P2）V= m2v22/2 - m1v12/2 + m2gh2 – m1gh1
液体不可压缩时 m1 = m2
m1/V = m2/V = ρ
由此得出：
即：
此即柏努利方程
条件：①理想液体 ②稳定流动 ③同一流管
三、柏努利方程的应用 1、压强和流速的关系
在许多问题中, 所研究的流体是在水平或接近 水平条件下流动。此时, 有 h1=h2或 h1≈h2, 柏努利 方程可直接写成: p p
1 2
P1+ ρv12 / 2 =P2+ρv22/2
结论：v大，p小
v2
v小，p大
v1
用v和P的关系解释几种现象
虹吸现象 （喷雾器）
第4章
液体的流动
飞 流 直 下 三 千 尺 ， 疑 是 银 河 落 九 天 。
固体 物体 气体
液体
流体
流体静力学
流体动力学
一、概念
1、理想液体(ideal fluid)
流动性
实际液体
可压缩性
黏滞性
理想液体
绝对不可压缩 没有黏滞性
2、 流 线
任一瞬间，可以在流 体中划这样一些线， 线上各点的切线方向 和流经该点的液体粒 子的速度方向相同。 这些线就叫做这 一时刻的流线。 A
h 1 h
p1 p2 p0
1 1 2 2 v1 gh v2 2 2
又
s1v1 s2v2
v2
2 gh s2 1 s1
当 s1>>s2
v2
2 gh
从所得结论可以看出，当圆面积比小孔面积大 很多时，可以认为水表面的流速为零。
1 1 2 2 v1 gh v2 2 2 1 2 gh v2 2
1 2 v D gh1 2
v D 2 gh1
由
S Dv D SC vC
G B
SD vC v D 2 2 gh 1 SC
A
C
D
h1
E
h2
F
1 1 2 2 又由C , D两点 Pc vc PD v D 2 2 1 1 2 2 PC P0 (v D vc ) P0 ( 2 gh1 8 gh1 ) 2 2 v D 2gh1 P0 PC 3 gh1 vC 2 2 gh 1 又 P0 PC gh2 h2 3h1
v2
s2 故液体的流量为 s1
v1
汾丘里流量计
2. 压强与高度的关系
若流管中流体的流速不变或流速的改变可以忽
略时,柏努利方程可以直接写成：
P1+ρgh1=P2+ρgh2
结论：流管内高处流体压强小，低处压强大。
h2 h1
管涌
体位对血压的影响
测量血压时一定要注意测量部位
3、流速与高度的关系
叫做流管。
二、方程
1、液流连续原理
在理想液体作 稳定流动的液体中 取一细流管, 取x1y1 段讨论。
△t（极短） 时间内，通过S1、S2截面的液体体积分别是:
S1 v1△t ，
S2 v2 △t
由理想液体作稳定流动条件，知 S1 v1△t = S2 v2 △t
即： S1v1=S2v2 或Sv=常量 此结论称为液流连续原理，也称连续性方程
因SA远大于SD, 所以vA可
以忽略不计, pA= pD=p0，hA=0
得
vD 2 g(hA hD )
2 9.8 [0 ( 4.5)]
2
9.4m s -1
QD S D vD πrD vD ( 3.00 102 )2 3.14 9.4 6.6 10 3 m 3 s 1 4 结果表明：通过改变D点距水面的垂直距离和虹吸管 内径, 可以改变虹吸管流出水的体积流量。
2
从量纲式可以看出三项具有压强的量纲
1 2 v 2 gh
动压强 位压强(静压强) 静压强
P
2. 驻点及其静压强（流速计原理） 皮托管是测量液体、气体流动速度的仪器
A点的vA即液体流动 的速度v B点是 “滞止区（驻 点）” vB=0 A、B两点同高 PA+ρv2/2 =PB+0 PB-PA=ρgh
1 1 2 2 p1 ρv1 p2 ρv2 2 2
p2= p0
p1= p+p0= F/S+p0
F 1 1 2 2 p0 ρ v1 p0 ρ v2 S 2 2
又因为
s2 s1 v1 0
v2
2
2F 2 58.8 93.6 2 2 ρ S1 1000 π (2 10 )
例3 两个开口很大的槽A和F盛有相同的液体，在A槽 底部接一细管BCD，水平管中较细部分C处接一竖直 的E管，并使管下端插入F槽的液体内，假设液体作稳 定流动，并没有粘滞性，如管C处的截面积是D处的一 半，并设D处比A槽液面低h1，问E管中液体上升的高 G 度h2是多少？
A
B
C
D
h1
E
h2
F
取如图所示的流管（接近流线），取G、D两 点（截面）
1 1 2 2 pD v D ghD pG vG ghG 2 2
取D点为参考平面
hD 0 pG p0
pD p0 hG h1
开口很大
vG=0
G B
A
C
E h2
D
h1
F
1 1 2 2 p0 v D p0 vG gh1 2 2
用柏努利方程求解，用下面几个步骤： 1. 选流管（流线）
2. 选两截面（点）
3. 选参考平面
s1
h s2
例1 注射器的直径为4cm，以F =58.8N的力推之。问
自小孔水平射出的水柱流速多大？设孔的截面积为 0.005cm2, 问50cm3的水注射完毕需多少时间？
F 1 2
解： ① 由柏努利方程
C
A
D
h1
E
h2
F
8
实际液体的流动
一、层流和湍流
缓慢的水流
1. 层流(Laminar flow） 液体分层流动的运动状态称为层流 。 流体间流速不同是因为存在内摩擦。
2. 湍流（turbulent flow）
分层流动的流体速度超过一定的 数值时，流体将不再保持分层流动， 外层的流体粒子不断卷入内层，而形 成旋涡，整个流动显得杂乱而不稳定，
结论： 流体的流速和管的横 截面积成反比，粗处流速慢， 细处流速快。 S v= V体积 /t = Q ……流量
意义：单位时间内流过横截 面的液体体积。 条件：①不可压缩 ②稳定流动 ③同一流管
血流速度分布
血流速度分布
为什么 血液在大动脉中流速最快， 在毛细血管内流速最慢。 血液为不可压缩液体作稳定流动。
1. 若虹吸管的内径为3×10-2 m, 求从虹吸管流出 水的体积流量。 2. 求虹吸管内B、C两处的压强。
1. 求流量
解:水面为参考面, 则有A、 B点的高度为零, C点的高 度为2.5m, D点的高度为 4.5m.
取虹吸管为细流管, 对于A、D两点, 根据柏努利方程有
1 2 1 2 ghA v A p A ghD v D pD 2 2
在自然界、工程技术和我们的日常生活中,存在 着许多与容器排水相关的问题,如水库放水(泻洪与发 电)、水塔经管道向城市供水及用吊瓶给患者输液等, 其共同的特点是液体从大容器经小孔流出。
水电站
水库大坝
铜壶滴漏
西汉时期的计时工具，亦
称水钟。用铜壶滴漏计时,使水
从高度不等的几个容器里依次滴 下来,最后滴到最低的有浮标的 容器里,根据浮标上的刻度也就 是根据最低容器里的水位来读取
v2 =2(PB-PA)/ρ
=2gh
问题:
气体流速如何测量
A、B两点近似为同 高点， PA+0=PB+ρv2/2
PA－PB= ρ'gh
ρ'是液体密度 ρ是气体密度
流量计原理
在两截面中心处做流线（细流管），如高度相等 P1+ ρv12 / 2 =P2+ρv22/2 S1v1=S2v2 h P1－P2= ρgh 联立求解
这种流动称为湍流。
湍流能发出声音，消耗的能量 比层流多。 心音是心脏瓣膜开启和关 闭发出的湍流声。
火山爆发
核爆蘑菇云
二、雷诺数
英国工程师雷诺(Reynold) 1883年发现：
r：管半径 Re称为雷诺数
30cm/s 速度 900cm2 5cm/s 速度 面积 3cm2 主动脉 1mm/s 毛细血管 18cm2 腔静脉
当液体从一个管流入多个支管时， 根据流量相等
的原则： Sv = S1v1+S2v2+ S3v3+… 注意：这时主管和支
来自百度文库
管之间不存在速度和
面积的反比关系。
2、理想流体的柏努利方程
1738年柏努利提出了著 名的柏努利方程。
2. 求B点压强：对于同一流线 上A、B两点, 应用柏努利方程
1 2 1 2 p A v A pB v B 2 2 1 2 pB p0 vB 2
根据连续性方程可知, 均匀虹吸管内, 水的速率处 处相等, vB=vD 1 5 pB 1.013 10 1.0 103 9.42 5.7 104 Pa 2 结果表明：在高度不变的情况下(A、B两点), 流速大处 （B点）压强小, 流速小处（A点）, 压强大。B点压强 小于大气压, 水能够进入虹吸管。
飞 流 直 下 三 千 尺 ， 疑 是 银 河 落 九 天 。
B C
流线形状会发生 变化，但不会相交， 具有瞬时性。
流线的照片
若流体中流线上各点的流速都不随时间变化， 则这样的流动称为稳定流动(steady flow)。
4、流管
在稳定流动的流体中任选截面s，并且通过它 的周边各点作流线，由这些流线所组成的管状体就
求C点压强
对于同一流线上的C、D两点, 应用柏努利方程有 1 2 1 2 pC vC ghC pD v D ghD 2 2 均匀虹吸管内,水的速率处处相等, vC=vD , 整理得
pC p0 g(hD hC )
1.013 105 1.0 103 9.8 ( 4.5 2.5)Pa 3.2 104 Pa 虹吸管最高处C点的压强比 入口处B点的压强低, 正是因为 这一原因, 水库的水才能上升到 最高处, 从而被引出来。
— 柏努利方程
丹.柏努利（Daniel Bernoull, 1700-1782) 瑞士科学家
下面给出推导： 条件：
流管极细
时间极短
①外力作功：W=F1L1- F2L2= P1S1L1-P2S2L2 若为理想流体，其体积相同，令 ：
S1L1= S2L2 = V
∴ W=（ P1-P2）V
②机械能的改变量：△E = △Ek+ △Ep
F 1 2 ρ v2 S 2
v2 9.67m/s
V 解② Q t
Q s2v2
V s 2v 2 t
V 50 106 t 10.3秒 4 s2v 2 9.67 0.005 10
例2 用一根跨过水坝的粗细
均匀的虹吸管, 从水库里取水, 如图所示。已知虹吸管的最高 点C比水库水面高2.5m, 管口出 水处D比水库水面低4.5m,设水 在虹吸管内作定常流动。
时间。
铜壶滴漏
小孔流速
在一个圆面积为s1大水桶的侧面，有一面积为s2的 圆孔，孔在水面下h处，求水在小圆孔中流出的流速。
s1 解： 取如图所示的流管（线）
由柏努利方程 h s2
1 2 p1 v1 gh1 2 1 2 p2 v2 gh2 2
令 h2 0
代入上式
地铁安全线
旋转球（香蕉球）
直接任意球
香蕉球原理
只平动(向下)
只旋转
平动加旋转
飞机的升力
空气流高速、压强较低 升力
空气流低速、压强较高
流速计原理
1. 动压强和静压强 在力学中选择长度L、时间T、质量M为基本量， 其余量为导出量。 量纲：表示导出量和基本量之间关系的量.
[Q]=L M T
p q r
[ s] L 例 [v] LT 1 [t ] T 1 [v] LT 2 [a] LT [t ] T
[F ] [m][a] MLT 2
柏努利方程
[ F ] MLT 2 [P] ML1T 2 [S] L2 2 2 1 2 [m] 2 ML T 1 2 [ v ] [v] ML T 3 2 [V ] L [m ] MLT L 1 2 [ gh] [ g ][ h] ML T 3 [V ] L
△E k =
m2v22/2 - m1v12/2
m2gh2 - m1gh1
△ E p=
③若不考虑内摩擦，由功能原理知
（ P1- P2）V= m2v22/2 - m1v12/2 + m2gh2 – m1gh1
液体不可压缩时 m1 = m2
m1/V = m2/V = ρ
由此得出：
即：
此即柏努利方程
条件：①理想液体 ②稳定流动 ③同一流管
三、柏努利方程的应用 1、压强和流速的关系
在许多问题中, 所研究的流体是在水平或接近 水平条件下流动。此时, 有 h1=h2或 h1≈h2, 柏努利 方程可直接写成: p p
1 2
P1+ ρv12 / 2 =P2+ρv22/2
结论：v大，p小
v2
v小，p大
v1
用v和P的关系解释几种现象
虹吸现象 （喷雾器）
第4章
液体的流动
飞 流 直 下 三 千 尺 ， 疑 是 银 河 落 九 天 。
固体 物体 气体
液体
流体
流体静力学
流体动力学
一、概念
1、理想液体(ideal fluid)
流动性
实际液体
可压缩性
黏滞性
理想液体
绝对不可压缩 没有黏滞性
2、 流 线
任一瞬间，可以在流 体中划这样一些线， 线上各点的切线方向 和流经该点的液体粒 子的速度方向相同。 这些线就叫做这 一时刻的流线。 A
h 1 h
p1 p2 p0
1 1 2 2 v1 gh v2 2 2
又
s1v1 s2v2
v2
2 gh s2 1 s1
当 s1>>s2
v2
2 gh
从所得结论可以看出，当圆面积比小孔面积大 很多时，可以认为水表面的流速为零。
1 1 2 2 v1 gh v2 2 2 1 2 gh v2 2
1 2 v D gh1 2
v D 2 gh1
由
S Dv D SC vC
G B
SD vC v D 2 2 gh 1 SC
A
C
D
h1
E
h2
F
1 1 2 2 又由C , D两点 Pc vc PD v D 2 2 1 1 2 2 PC P0 (v D vc ) P0 ( 2 gh1 8 gh1 ) 2 2 v D 2gh1 P0 PC 3 gh1 vC 2 2 gh 1 又 P0 PC gh2 h2 3h1
v2
s2 故液体的流量为 s1
v1
汾丘里流量计
2. 压强与高度的关系
若流管中流体的流速不变或流速的改变可以忽
略时,柏努利方程可以直接写成：
P1+ρgh1=P2+ρgh2
结论：流管内高处流体压强小，低处压强大。
h2 h1
管涌
体位对血压的影响
测量血压时一定要注意测量部位
3、流速与高度的关系
叫做流管。
二、方程
1、液流连续原理
在理想液体作 稳定流动的液体中 取一细流管, 取x1y1 段讨论。
△t（极短） 时间内，通过S1、S2截面的液体体积分别是:
S1 v1△t ，
S2 v2 △t
由理想液体作稳定流动条件，知 S1 v1△t = S2 v2 △t
即： S1v1=S2v2 或Sv=常量 此结论称为液流连续原理，也称连续性方程
因SA远大于SD, 所以vA可
以忽略不计, pA= pD=p0，hA=0
得
vD 2 g(hA hD )
2 9.8 [0 ( 4.5)]
2
9.4m s -1
QD S D vD πrD vD ( 3.00 102 )2 3.14 9.4 6.6 10 3 m 3 s 1 4 结果表明：通过改变D点距水面的垂直距离和虹吸管 内径, 可以改变虹吸管流出水的体积流量。
2
从量纲式可以看出三项具有压强的量纲
1 2 v 2 gh
动压强 位压强(静压强) 静压强
P
2. 驻点及其静压强（流速计原理） 皮托管是测量液体、气体流动速度的仪器
A点的vA即液体流动 的速度v B点是 “滞止区（驻 点）” vB=0 A、B两点同高 PA+ρv2/2 =PB+0 PB-PA=ρgh
1 1 2 2 p1 ρv1 p2 ρv2 2 2
p2= p0
p1= p+p0= F/S+p0
F 1 1 2 2 p0 ρ v1 p0 ρ v2 S 2 2
又因为
s2 s1 v1 0
v2
2
2F 2 58.8 93.6 2 2 ρ S1 1000 π (2 10 )
例3 两个开口很大的槽A和F盛有相同的液体，在A槽 底部接一细管BCD，水平管中较细部分C处接一竖直 的E管，并使管下端插入F槽的液体内，假设液体作稳 定流动，并没有粘滞性，如管C处的截面积是D处的一 半，并设D处比A槽液面低h1，问E管中液体上升的高 G 度h2是多少？
A
B
C
D
h1
E
h2
F
取如图所示的流管（接近流线），取G、D两 点（截面）
1 1 2 2 pD v D ghD pG vG ghG 2 2
取D点为参考平面
hD 0 pG p0
pD p0 hG h1
开口很大
vG=0
G B
A
C
E h2
D
h1
F
1 1 2 2 p0 v D p0 vG gh1 2 2
用柏努利方程求解，用下面几个步骤： 1. 选流管（流线）
2. 选两截面（点）
3. 选参考平面
s1
h s2
例1 注射器的直径为4cm，以F =58.8N的力推之。问
自小孔水平射出的水柱流速多大？设孔的截面积为 0.005cm2, 问50cm3的水注射完毕需多少时间？
F 1 2
解： ① 由柏努利方程