最详!!定积分与微积分

(1)求物体A的速度； (2)两物体何时相遇？相遇地与物体A 的出发地的距离是多少？
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解：(1)设物体A在时刻t的速度为v(t)， 依题意有v(0)＝2， 2分 v′(t)＝a(t)＝6t，且 v(t)－v(0)＝t a(t)dt
0
＝t (6t)dt＝3t2|t0＝3t2. 0 ∴v(t)＝3t2＋2. 5 分
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【解】
2t
(0≤t≤1)
v(t)＝2 (1<t≤3)
13t＋1 (3<t≤6)
，…….. …..3 分
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【名师点评】 本题在求12s～6s 间 的运动路程时，第一段面积不需要都计 算进去，只要计算[12，1]上的就可以了， 这一点在计算时易弄错．
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高考检阅
(本题满分10分)物体A以初速度为2(速 度v的单位：m/s)、加速度为a(t)＝6t(t的单 位：s)在一直线上运动．在此直线上与物 体A出发的同时，物体B在物体A的正前方 5 m处以v＝10t＋1(t的单位：s，v的单位： m/s)的速度运动．
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(2)设 t 时刻两物体相遇，则有
t
(3t2＋2)dt＝5＋t
(10t＋1)dt，
0
0
பைடு நூலகம்
即(t3＋2t)|t0＝5＋(5t2＋t)|t0，
∴t3－5t2＋t－5＝0，
(t－5)(t2＋1)＝0，t＝5(s). 8 分
∴两物体运动 5 s 时相遇．相遇地与物
体 A 的出发地的距离为 s＝5(3t2＋2)dt＝(t3 0
(2)求2|3－2x|dx. 1
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【思路点拨】 (1)f(x)在[0,5]上
的定积分，可按照f(x)的分段标准，分
成[0,1]，(1,4]，(4,5]三段的定积分的
和；
(2)由 |3－ 2x|＝3－ 2x 2x－3
1≤x≤23 32<x≤2
，
可分为两段定积分，再求和．
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【解】 (1)由定积分性质知
n
f(ξi)Δx＝
i＝1
i＝1
b－a
n
f(ξi) ，
基础知识梳理
当n→∞时，上述和式无限接近 某个常数 ， 这个常数 叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作
n b－a
lim
＝ n→∞ i＝1
n f(ξi) ．
，即∫baf(x)dx
基础知识梳理
②在bf(x)dx 中， a与b 分别叫做积 a
(x≥0) (x<0)
，则1 f(x)dx -1
A．1 x2dx -1
B．1 2xdx -1
C．0 x2dx＋12xdx
-1
0
D．0 2xdx＋1x2dx
-1
0
答案：D
三基能力强化
4．2 1
(2x2－1x)dx＝________.
答案：134－ln2
三基能力强化
5．已知a (2x＋1)dx＝2，则 -1
0
(2)
2 1
(e2x＋1x)dx；
(3)
0
π2sin2x2dx.
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【思路点拨】 (1)(2)先利用定积 分的性质将被积函数化简再求．(3)先 化简，再求定积分．
【解】
(1)
2
(4x3＋3x2－x)dx
0
＝2 (4x3)dx＋2 (3x2)dx－2xdx
0
0
0
＝x4|20＋x3|20－12x2|20
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例3 利用定积分的性质和定义表示下 列曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
【思路点拨】 先将区域面积表 示成若干个定积分的和或差，再运用 牛顿—莱布尼兹公式计算．
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(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示： S＝A1＋A2.
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考点二 求分段函数的定积分
1．分段函数的定积分 (1)分段函数在区间[a，b]上的定积 分可分成几段定积分的和的形式． (2)分段的标准是使每一段上的函数 表达式是确定的，一般按照原函数分段 的情况分，无需分得过细．
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2．奇偶函数在对称区间上的定积分 (1)若 f(x)为偶函数，且在关于原点对称的
＝(24－0)＋(23－0)－12(22－0)
＝16＋8－2＝22.
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(2)∵(lnx)′＝1x，(12e2x)′＝e2x，
∴2 1
(e2x＋1x)dx＝12e2xdx＋121xdx
＝12e2x|21＋lnx|21
＝12e4－12e2＋ln2－ln1
＝12e4－12e2＋ln2.
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第3课时 定积分与微积分 基本定理
基础知识梳理
1．定积分的概念
(1)定积分的定义和相关概念
①如果函数f(x)在区间[a，b]上连
续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝ b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个
小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，
…，n)，作和式
n
下限小于上限，即 a＜b，为了方便计算，
人们把定积分的概念扩大，使下限不一定
小于上限，并规定：bf(x)dx＝－af(x)dx，
a
b
af(x)dx＝0.
a
规律方法总结
2．求定积分的常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求 积分． (2)求被积函数为分段函数的定积 分，依据定积分“对区间的可加性”， 分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函 数，要先去掉绝对值号才能积分．
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【名师点评】 用定积分计算平面区域
的面积，首先要确定已知曲线所围成的区
域，由区域的形状，选择积分函数，再确定
积分上、下限，当计算公式
S
＝
b
|f(x)
－
a
g(x)|dx 中的 f(x)或 g(x)是分段函数时，面积
要分块计算．
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考点四 定积分在物理中的应用
利用定积分解决变速运动问题 和变力做功问题时，关键是求出物 体作变速运动的速度函数和变力与 位移之间的函数关系，确定好积分 区间，得到积分表达式， 再利用微 积分基本定理计算即得所求．
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例4 (解题示范)(本题满分 10 分)
一物体做变速直线运动，其 v－t 曲线如 图所示，求该物体在12 s～6 s 间的运动路程．
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【思路点拨】 从图上可以看出 物体在0≤t≤1时做加速运动，1≤t≤3时 做匀速运动，3≤t≤6时也做加速运动， 但加速度不同，也就是说0≤t≤6时， v(t)为一个分段函数，故应分三段求积 分才能求出曲边梯形的面积．
1．下列值等于12的积分是(
)
A．1xdx 0
C．12dx 0
B．0212dx D．22dx
0
答案：A
三基能力强化
2．(教材习题改编)曲线 y＝
cosx(0≤x≤ 32 π) 与 坐 标 轴 所 围 成 的 面 积
是( )
A．2
B．3
5 C.2
D．4
答案：B
三基能力强化
3．设 f(x)＝2xx2 的值是( )
＋2t)|50＝53＋2×5＝135(m). 10 分
规律方法总结
1．定积分的概念应注意的问题 (1)积分值仅与被积函数及积分区间
有关，而与积分变量的字母无关，即b a
f(x)dx＝bf(t)dt＝bf(μ)dμ.
a
a
(2)定义中区间的分法和 ξi 的取法都
是任意的．
规律方法总结
(3)在定积分的定义中，bf(x)dx 限定 a
5f(x)dx＝1f(x)dx＋4f(x)dx＋5f(x)dx
0
0
1
4
＝1x3dx＋4 xdx＋5 (2x－14)dx
0
1
4
＝x44|10＋23x32|41＋(l2nx2－14x)|54
＝14＋136－23＋l3n22－14×5－(l1n62－14×4)
＝l1n62－11029.
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【规律总结】 计算简单定积分的步骤 (1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、 余弦函数、指数函数与常数的和或差； (2)利用定积分的性质把所求的定积分化 为若干个定积分的和或差； (3)分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x) ＝f(x)； (4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个 定积分的值； (5)计算所求定积分的值．
区间[－a，a]上连续，则a f(x)dx＝2af(x)dx.
-a
0
(2)若 f(x)为奇函数，且在关于原点对称的
区间[－a，a]上连续，则a f(x)dx＝0. -a
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例2
x3
(0≤x≤1)
(1)求函数 f(x)＝ x (1<x≤4)
2x－14 (4<x≤5)
在区间[0,5]上的定积分．
(3)定积分的基本性质
①kf(x)dx＝
kbf(x)dx(k a
为常数)
．
bf1(x)dx±bf2(x)dx
② [f1(x)±f2(x)]dx＝ a
a
.
③f(x)dx＝
cf(x)dx＋bf(x)dx(其中
a
c
a<c<b)
．
基础知识梳理
你能从定积分的几何意义解释性 质③吗？
【思考·提示】 如图所示，设在区 间[a，b]上恒有f(x)≥0，c是区间(a，b)内的 一点，那么从几何图形上看，直线x＝c把 大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因 此，大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形 的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2，用定积 分表示就是性质③.
分下限与积分上限，区间 [a，b] 叫做积 分区间，函数f(x) 叫做被积函数， x叫
做积分变量，f(x)dx 叫做被积式．
基础知识梳理
(2)定积分的几何意义 ①当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时， 定积分bf(x)dx 的几何意义是由直线 x＝a，x
a
＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边 梯形的面积(图 1 中阴影部分)．
A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成；
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成．
∴A1＝1 [ x－(－ x)]dx， 0
A2＝4 [ x－(x－2)]dx， 1
∴S＝12 xdx＋4 ( x－x＋2)dx
0
1
＝21 xdx＋4 xdx－4xdx＋42dx
0
1
1
1
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基础知识梳理
2．微积分基本定理
如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并
且 F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dx＝F(b)－F(a) ， a
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿
——莱布尼兹公式．
为了方便，常把 F(b)－F(a)记成
，
即bf(x)dx＝ a
＝F(b)－F(a)．
三基能力强化
【名师点评】 分段函数在区间 [a，b]上的定积分可分成几段定积分 的和的形式. 分段的标准只需依据已知 函数的分段标准即可．
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考点三 定积分的几何意义
利用定积分求平面图形面积的 关键是画出几何图形，结合图形位 置，确定积分区间以及被积函数， 从而得到面积的积分表达式，再利 用微积分基本定理求出积分值．
a＝________. 答案：1
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考点一 求已知函数的定积分
求函数f(x)的定积分，关键是求 出函数f(x)的一个原函数F(x)，即满 足F′(x)＝f(x)．正确运用求导运算与 求原函数运算互为逆运算的关系．
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例1 求下列函数的定积分：
(1)
2
(4x3＋3x2－x)dx；
基础知识梳理
基础知识梳理
②一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何 a
意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 2 中 阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区 间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区 间上积分值的相反数．
基础知识梳理