1 矢量代数与矢量微积分基础

矢量
K a
和
K b
矢量积定义为
K c
=
K a
×
K b
=
(
absinφ
)
nˆ c
，
(1.1.19)
此处 nˆ c 是矢量 cK 方向的单位矢量。两矢量的矢量积仍然是一矢量，中间用符号×联系，所
以矢量积也称为叉积（cross
product）。矢量
cK
的方向由右手螺旋规则确定，并垂直于
K a
和
K b
所确定的平面。由图
图
1-10
矢量积的右手螺旋规则。
K c
垂直于
K a
×
K b
(a)
和
K b
×
K a
(b)
所确定的平行四边形的平面(c)。
1-10 (c)
易知，叉积
aK
×
K b
的模等于由
K a
和
K b
所确定的平形四边形的面积。尽管按照(1.1.19)式
其面积大小是相同的，但是
K a
×
K b
并不等于
K b
×
K a
，它们方向相反。所以叉积不满足交换律。
K a
和
K b
的标量积可以记为
( ) ( ) K
a
⋅
K b
=
axiˆ + ay ˆj + azkˆ
⋅
bxiˆ + by ˆj + bzkˆ
。
根据标量积的定义，不难确定单位矢量间的关系：
(1.1.12) (1.1.13)
iˆ ⋅iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1; iˆ ⋅ ˆj = ˆj ⋅ kˆ = iˆ ⋅ kˆ = 0
+
a
2 y
+
az2
(1.1.8)
任何矢量都可以表示成为其模与其矢量方向的单位矢量之积来表示。比如，若我们记矢
量
K a
方向的单位矢量为
nˆ
a
，则我们可以把
K a
表示为
aK =
aK nˆ a
= anˆ a ，或者 nˆ a
=
K aK a
。
(1.1.9)
矢量乘法规则及其几何意义
矢量乘法包括标量积和矢量积两种。
第 1 章 矢量代数与矢量微积分
§1.1 矢量代数
本章并不是要介绍我们所需要的所有数学方法，而是根据学生在初学阶段的需要主要 介绍矢量代数及其相关的运算规则。旨在为更好的理解物理学描述物体运动的方式和物理思 想奠定基础。另一方面，物理学发展到现在的信息时代，我们认为仅仅掌握普通的数学方法 是不够的，无论从掌握基本物理概念，还是从探究式学习的角度，我们认为引入计算机教学 是非常必要的。这里，我们把计算机算法作为数学方法的一种补充。但是计算机的方法很多， 我们这里只介绍 Matlab 算法在物理学中的应用。由于该程序非常普及易学，我们只是抛砖 引玉式地作一简单介绍，旨在把学生引导到这一探究式学习的道路上来。
K
K
加一矢量 −b 等价于减去矢量 b 。所以，定义矢量减法为（见图 1-6）
K d
=
K a
−
K b
=
K a
+
K (−b )
(1.1.4)
矢量分量表示
如果考虑一个在
x-y
平面的二维矢量
K a
，如图
1-7
所示。分量
ax
和
ay
分别为矢量
K a
在
x
轴和 y 轴上的投影。根据三角关系，容易得到
ax = a cosθ 和 ay = a sinθ 矢量的大小，也称为矢量的模，记为 a ≡ aK ，
（1）标量积
矢量
aK
和
K b
的标量积定义为
aK
⋅
K b
=
abcosφ
。
(1.1.10)
KK 图 1-9 (a) 两矢量 a 和 b 及其夹角φ ；(b) 一矢量在另一矢量的投影分量
由于两矢量间的乘积关系用点表示，标量积也称为点积（dot product）或内积（inner
product）。(1.1.10)式是读作“
(1.1.14)
即相同单位矢量的标量积为 1，不同单位矢量的标量积为 0。这个性质可以用一个简洁 的关系表示：
eˆl
⋅ eˆ k
= δlk
=
⎧1, ⎨⎩0,
l =k l≠
k
（l,
k
= 1,2,3）
(1.1.15)
为方便起见，记 eˆl（l =1,2,3）表示单位矢量 iˆ 、 ˆj 和 kˆ 中的任意一个，eˆ1 = iˆ, eˆ2 = ˆj, 以
是 90 度，故叉积后与另一单位矢量形成右手螺旋关系。比如，iˆ × ˆj = kˆ, ˆj × kˆ = iˆ, kˆ × iˆ = ˆj ；
而 ˆj × iˆ = −kˆ, kˆ × ˆj = −iˆ, iˆ × kˆ = − ˆj ，参考图 1-11。
把这些关系代入下面的矢量积
图 1-11 单位矢量
图 1-3 两矢量求和可交换顺序
（2）结合律 其矢量关系见图 1-4
(
K a
+
K b
)
+
K c
=
K a
+
(bK
+
K c
)
(1.1.3)
图 1-4 三矢量和的结合律
（3）矢量减法
K
K
矢量 −b 定义为其大小等于矢量 b 但是方向相反，如图 1-5。
K
K
图 1-5 矢量 −b 与矢量 b
图 1-6 矢量减法用矢量加法表示
K a
⋅
eˆ 2
)
,
a3
=
(
K a
⋅
eˆ 3
)
,
即 ai
=
(
K a
⋅
eˆ i
)
(i
= 1, 2,3)
(1.1.17)
所以，我们可以把矢量
K a
表示为
∑ ∑ K
a
=
3
(
K a
⋅
eˆi
) eˆ i
=
3
aieˆi
i=1
i=1
从代数上讲，这个式子可以看作是将矢量
K a
用基矢
eˆ l
来表示。
(1.1.18)
（2）矢量积
表示之于 b 的分量。(1.1.16)式中最后一个等式是物理学中常用的一种标记形式，称为爱因
斯坦求和规则，即重复指标表示对两个量遍历所有可能指标求和。此处等价于求和i =1, 2, 3。
利用内积的概念，一个矢量在各坐标轴的分量，即为这个矢量在该轴上的投影。所以我
们有
a1
=
(
K a
⋅
eˆ1
)
,
a2
=
(
轴上长度为
1
个单位且相互垂直的单位矢量。任意矢量
K a
可以用三个单位矢量来表示：
K a
=
ax
iˆ
+
ay
ˆj
+
az
kˆ
(1.1.7)
量 axiˆ、 ay ˆj 和 azkˆ 是矢量 aK 的“矢量分量”，而 ax , ay 和 az 是矢量 aK 的“标量分量”。 矢
量
K a
的模是
a = aK =
ax2
=
aK
K b
sin φ
K d cosθ ，
这个式子实际上等于如图所示的底面积为
aK
K b
sinφ 、高为
K d
cosθ
的立方体的体积（或体
积的负值，决定于是否三矢量构成右手系）。
下面的矢量恒等式称为双叉积恒等式
K K K KK K KK K A×(B×C) = B(A⋅C) − C(A⋅ B)
(1.1.28)
及 eˆ3 = kˆ 。 δlk 称为克罗内克Delta（Kronecker Delta）符号。所以，容易证明(1.1.13)式可以
写为
∑ K
a
⋅
K b
=
axbx
+
ayby
+
azbz
=
3
aibi ≡ aibi 。
i=1
(1.1.16)
在上面第二个等式，下指标表示的意义是 i = 1, 2, 3 对应于 a1 = ax , a2 = ay , a3 = az ；同样的 K
(1.1.5)
根据三角关系有
a=
ax2 + ay2
以 及 tanθ = ay ax
(1.1.6)
图 1-7
(a)
K 矢量 a 的分量 ax 和 ay
；
（b）分量的合成。
三维笛卡尔坐标下矢量的分量表示
图 1-8 三维矢量图。单位矢量 iˆ 、 ˆj 和 kˆ 按右手定则定义了笛卡尔坐标系。
如图 1-8 所示坐标轴确定的坐标系为右手坐标系。图中 iˆ 、 ˆj 和 kˆ 分别为在 x、y 和 z
(1.1.21)
bx by bz
比较一下式中
K c
和
K a
×
K b
的分量的下指标，可以发现右边的第一项按照（x,
y,
z）形成循环的
关系，而第二项交换下指标而有一负号；所有的下指标没有重复相同的。而行列式只是依据
行列式的性质来表示叉积关系的另一种形式而已。下面我们引进一个符号来表示叉积的分量
之间的关系，这种形式以后对于矢量的运算是很有帮助的。我们记
图 1-1 相同起始位置 A 和
B 不同路径的位移矢量
图 1-2（a）矢量 AC 是矢量 AB 与 BC 的矢量和（b）等价的矢量图
图 1-2 中的矢量和关系可以表示为矢量方程
K s
=
K a
+
K b
。
矢量加减法运算规则
（1）交换律
矢量关系见图 1-3，而数学表达则为
K a
+
K b
=
K b
+
K a
(1.1.1) (1.1.2)
图 1-1 表示的位移矢量 AB 的例子，它只表示物体从 A 点运动 到 B 点的位置的变化，但是并不能说明物体是从哪条路径从 A 点到 达 B 点的。所以位移矢量并不包含路径的任何信息。如果物体从某 点 A 到点 B，然后又从点 B 到点 C，那么物体运动从点 A 到点 C 的 净位移是矢量 AB 和 BC 的矢量和，如图 1-2。
εijk 称 为 Levi-Civita 反 对 称 张 量 。 改 变 指 标 顺 序 ， εijk = ε kij = −εikj 。 事 实 上 ，
ε123 = ε312 = ε 231 = 1, 而 ε 213 = ε132 = ε321 = −1 。(1.1.22)式也可以去掉求和符号，用爱因斯
坦求和规则记为
( ) ci =
K a
×
K b
i
= εijk a jbk
(1.1.24)
这里右边 εijk 第一个字母表示叉积的第i分量，而a, b的下指标j、k与 εijk 重复表示自动求和。
根据这个关系，(1.1.24)式中的下指标可以取（1、2、3）的任意值。其中 1 对应x分量，2 对
应y分量，3 对应z分量。如若 i = 1（即 cx 分量），这时右边 εijk 中的i是 1。所以j，k只能取 2
aK
×
K b
的分量为
其中定义
( ) ∑ ∑ ci =
aK
×
K b
=
i
33
εijk a jbk
j=1 k =1
⎧1, 下指标按(1,2,3)顺序排列，或其偶数次对换， εijk = ⎪⎨0, 下指标中有两个或以上相同
⎪⎩−1, 下指标按(x,y,z)的顺序形成奇数次对换
(1.1.22) (1.1.23)
K a
点乘
K b
”。该式可以改写为
aK
⋅
K b
=
(
acosφ
)
(b
)
=
(
a
)
(
bcosφ
)
，
(1.1.11)
式中矢量
a
cos
φ
是
K a
投影到矢量
K b
方向的分量，b
cosφ
是矢量
K b
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投影到矢量
K a
方向的分量。
这意味着标量积是可以交换的。所以我们有
K a
⋅
K b
=
K b
⋅
K a
用三维矢量的形式，矢量
ε ε ijk klm = δilδ jm − δimδ jl 。
(1.1.25)
（3）混合积
物理学中许多物理量是以矢量场的形式出现。它们有时出现点积和叉积混合相乘的运
算。比如
( ) ( ) K
d⋅
K a
×
K b
=
dxiˆ + d y ˆj + dzkˆ
iˆ ⋅ ax
ˆj ay
kˆ dx az = ax
如果记
cK′
=
K b
×
aK
，那么
cK′
=
−cK
，即
aK
×
K b
=
K −b
×
aK
(1.1.20)
为了在三维笛卡尔（Cartesian）坐标系统下表示矢量积，我们先看单位矢量的矢量积。 根据定义式(1.1.19)，相同的单位矢量的叉积为零，因为同一单位矢量的夹角等于零。比如，
iˆ × iˆ = ˆj × ˆj = kˆ × kˆ = 0 。但是不同单位矢量的叉积不为零，因为两不同单位矢量间的夹角
§1.1.1 矢量与矢量代数运算
矢量是既有大小也有方向的量。物理学中许多物理量为矢量，比如位移矢量，动量， 角动量，力，电场，磁场，……都是矢量。有些物理量为标量，像温度、热容量、能量、质 量、时间，…….等等，只有大小而没有方向。标量满足一般的代数关系，而矢量的代数关 系是不同于标量的。进一步地，在微分等运算中矢量的表现形式也是与标量很不一样的。因 此，有必要关于矢量运算的各种形式作介绍。
K K K KK K KK K ( A× B) × C = B( A⋅C) − A(B ⋅C)
和 3，而不能取 1；同时j，k的值也不能相同。对于 c1 ， ε1 jk 可以取 ε123 = 1，即j=2，k=3；
和 ε132 = −1，即j=3，k=2。所以有 cx = aybz − azby 。其余分量可以如此类推给出。这个符
号在物理学物理量的矢量运算关系中是很有用的。下面我们不加证明给出Levi-Civita张量的 一个有用的恒等式
( ) ( ) K
a
×
K b
=
axiˆ + ay ˆj + azkˆ
×
bxiˆ + by ˆj + bzkˆ
逐项相乘，立即可以得到
cK
=
aK
×
K b
⇒
cxiˆ
+
cy
ˆj
+
cz kˆ
=
(aybz
−
azby
)iˆ
+
(azbx
−
axbz
)
ˆj
+
(axby
−
aybx
)kˆ
iˆ ˆj kˆ = ax ay az
dy ay
dz az
bx by bz bx by bz
(1.1.26)
图 1-12 矢量混合积几何意义
可以证明[见习题 1]下面矢量混合积恒等式
K d
⋅
( aK
×
K b
)
=
aK
⋅
(bK
×
K d
)
=
K b
⋅
(
K d
×
aK
)
(1.1.27)
由图 1-12 容易看出
( )( ) ( ) K
d⋅
aK
×
K b