2020年高考数学专题二 第2讲

第2讲 数列求和及综合应用

高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和.

解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①

故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，②

①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1

， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式，

从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1

. (2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ， 由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1

，

则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1

. 2.(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭

⎬

⎫b n a n 的前n 项和T n .

解 (1)设{a n }的公比为q ，

由题意知⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝6，

a 21q ＝a 1q 2，

又a n >0，

解得⎩⎨⎧a 1＝2，

q ＝2，所以a n ＝2n .

(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，

又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，

所以b n ＝2n ＋1.

令c n ＝b n

a n ，则c n ＝2n ＋1

2n ，

因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n

＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋1

2n ，

又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋1

2n ＋1，

两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋1

2n ＋1，

所以T n ＝5－2n ＋5

2n .

考 点 整 合

1.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系，a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），

S n －S n －1 （n ≥2）.

(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误.

2.数列求和

(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.

(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.

(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵

消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.

温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.

3.数列与函数、不等式的交汇

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.

热点一 a n 与S n 的关系问题

【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1

.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值.

解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *，

所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1，

两式相减，得a n ＋1＝－14a n ，

又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－14，

所以数列{a n }是公比、首项均为－14的等比数列.

所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－14n

. (2)b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1，

数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2，

c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2， 所以A n ＝1－1（n ＋1）2

. 因此{A n }是单调递增数列，

∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝34；A n 没有最大值.

探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .

2.形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列.

【训练1】 (2018·安徽江南名校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足2(S n ＋1)＝(n ＋3)a n .

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1

，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <3. (1)解 2(S n ＋1)＝(n ＋3)a n ，①

当n ≥2时，2(S n －1＋1)＝(n ＋2)a n －1，②