初中数学相交线问题中的探索与猜想型试题举例

探索与猜想
猜想是一种高层次的思维活动，是数学发现过程中的一种创造性思维﹒“观察、归纳、猜想”型探索性问题，使学生以“数学家”的角色，置身于猜想、发现的情境之中，这类问题对开拓思维，培养创新意识和探索能力大有裨益﹒
例1 根据题意，完成下列填空：
如图1，1l 与2l 是同一平面内的两条直线，
它们有一个交点﹒如果在这个平面内，再画 图1 第3条直线3l ，那么这3条直线最多可有___个交点；如果在这个平面内再画第4条直线4l ，那么这4条直线最多可有___个交点；由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有___个交点﹒n （n 为大于1的整数）条直线最多可有___个交点﹒（用含n 的式子表示）﹒
解：（1）画图观察 2=n 3=n
4=n 5=n
12=a
33=a
64=a
105=a
图2
（2）列表归纳
直线条数n 2 3 4 5 6 ... n 增加点数 1 2 3 4 5 (1)
n 点的个数n a
1
3
6
10
1
5
…
？（3）归纳与猜想：当2=n 时，12=a ； 当3=n 时，2133+==a ； 当4=n 时，32164++==a ；
b
a
O
O
a
b c
O
c b
a
d O
d a
b
c e
b
a
O
当5=n 时，4321105+++==a ； 于是，可猜想n 条直线最多可有交点个数为：
n a =1-n a +)1(-n =1+2+3+4+…+)1(-n =)1(2
1
-n n ﹒
我们不妨难证一下公式的正确性，当5=n 时，)1(2
1
-n n =10，与上面得到的结果是一
致的！
于是，当n =6时，)1(2
1
-n n =15个交点﹒
例2 如图3，两条直线a 、b 相交于点O ，共可组成4对对顶角．如果经过点O 再画第三条直线c ，那么这三条直线共可组成___对对顶角；如果经过点O 再画第四条直线d ，那么这四条直线共可组成___对对顶角．由此我们可以猜想：n （n ≥2）条直线相交于
一点共可组成___对对顶角．
解：（1）画图观察 图3
2=n
3=n
4=n 5=n
22=a
63=a
124=a
205=a
（2）列表归纳
1
（3）归纳与猜想：当2=n 时，22=a ； 当3=n 时，4263+==a ； 当4=n 时，642124++==a ； 当5=n 时，8642205+++==a ；
……
于是，可猜想n 条直线最多可有交点个数为：
n a =1-n a +)1(-n =2+4+6+8+…+)1(2-n
=2[1+2+3+4+…+)1(-n ]=2×
)1(2
1
-n n =)1(-n n ﹒ 最后，请同学们思考：n （n ≥2）条直线相交于一点共可组成___对邻补角，还等什么呢，赶快动手试一试吧！
探索规律 解决问题
我们知道两条直线相交得到的四个角中，有一个公共顶点，而没有公共边的两个角叫做对顶角.识别对顶角要把握三点：（1）有两条直线相交得到的；（2）有一个公共的顶点；（2）两个角之间没有公共边.
一、探索规律
我们知道两条直线交于一点，可以得到两对对顶角.如图1，∠1和∠3、∠2和∠4.在条件较少的条件下，找对顶角还比较容易.但当三条直线或三条以上直线的直线相交于一点时，如图2、图3，要找图中的所以的对顶角，并做到不重复、不遗漏，可能大家感到有点困难了.那么如何得到多条直线相交于一点得到的对顶角的对数呢？
图1 图2 图3 我们现在来探究一下：
观察图2可知,当有两条直线相交时,可以得到两组对顶角.当有三条直线a 、b 、c 相交于一点时,其中 a 与b 、a 与c 、b 与c 两两相交，可以得到6对对顶角；如图3四条直线相交于一点时，即a 与b 、a 与b 、a 与d 、b 与c 、b 与d 、c 与d 两两相交，其中每两条直线相交可得两对对顶角，所以共得到12对对顶角.
由此可以看出，直线的条数与对顶角的对数有下列关系：
当2条直线相交于一点时，可得2(2-1）=2对对顶角；
当3条直线相交于一点时，可得3(3-1）=6对对顶角；
当4条直线相交于一点时，可得4(4-1）=12对对顶角；
当5条直线相交于一点时，可得5(5-1）=20对对顶角；
依次类推：
当n条直线相交于一点时，可得n(n-1）对对顶角.（n是大于1的整数）.
二、应用举例
有了上面的规律，我们可以解决一些复杂图形中的对顶角的对数问题.
例1 如果有10条直线都经过一点O，那么可以得到多少对以0为顶点的对顶角？
析解：根据规律：当n条直线相交于一点时，可得n(n-1)对对顶角,所以当n=10时,可得10(10-1)=90对对顶角.
例2如图4,直线AB、CD、EF、MN相交于一点0，直线PQ与它们分别相交与点R，S，G，H.则图中共有多少对对顶角.
析解：图中4条直线相交于一点0，所以以O为顶点的对顶角有4×(4-1)=12对.直线PQ与已知四条直线分别相交于点R、S、G、H，
以每个顶点的对顶角分别有两对，共得到8对，
所以图中一共可以得到12+8=20对对顶角.
图4。