高考复习专题：函数零点的求法及零点的个数

③当 y f x 在 1,1 上有两个零点时 , 则
f x在
1,1 上也恰有一个零
a0 8a2 24a 4 0
1 11 2a
f1 0
f10
a0 8a2 24a 4 0
1 11 2a
f1 0
或
f10
y ln x 即求 y 6 2x 的交点的个数。画图可知只有一个。
a 解得 a 5 或
35 2 综上所求实数 a 的取值范围是
）。
2
C.(2,3) D.(3,4)
答案 B。
⑤方程 f （x）=0 的两根中一根大于 p，另一根小于 q（p＜q） a f (q) 0.
5、若方程 x2 (k 2) x 2k 1 0 的两根中 , 一根在 0 和 1 之间 , 另一根在 1 和 2 之间 ,
（二）、强化巩固训练
求实数 k 的取值范围。
[ 例 3] (2007 ·广东 ) 已知 a 是实数 , 函数 f x 2ax 2 2x 3 a , 如果函数 y f x 在区 [ 例 5] 已知函数 f ( x) mx2 ( m 3) x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右
间 1,1 上有零点，求 a 的取值范围。
侧，求实数 m的取值范围 [ 解题思路 ] 由于二次函数的图象可能与
④二次方程 f （x）=0 在区间（ p，q）内只有一根 f （ p）·f （q）＜ 0，或 f （ p） =0， 另一根在（ p，q）内或 f （q）=0，另一根在（ p，q）内 .
a f ( p) 0,
4、设函数 y x3与 y
A.(0,1)
B.(1,2)
( 1 )x 2 的图象的交点为 ( x0 , y0) ，则 x0 所在的区间是（
③二次方程 f （x）=0 在区间（ p，q）内有两根
Δ b2 4ac 0,
b
p
q,
2a
a f ( q) 0,
a f ( p) 0.
3
[ 解析 ] ( －3， 2 ） 只需 f (1)
2 p2 2 p 9 0 或 f ( 1)
2p2 p 1 0
3
1
3
即－ 3＜ p＜ 2 或－ 2 ＜p＜ 1. ∴p∈( －3, 2 ) 。
y ( 1) x
[ 解析 ] 2；在同一个坐标系中作函数
2 及y
点
x2 3 的图象，发现它们有两个交
②二次方程 f （x）=0 的两根都大于 r
Δ b2 4ac 0, b r, 2a
a f (r) 0.
故方程 2 x x2 3 的实数解的个数为 2。 3、已知二次函数 f (x) 4x2 2( p 2) x 2 p2 p 1 , 若在区间［－ 1，1］内至少存在一 个实数 c, 使 f(c)>0, 则实数 p 的取值范围是 _________。
1
x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论
[ 解析 ] （1）若 m=0，则 f （x）=－3x+1，显然满足要求 . （2）若 m≠ 0，有两种情况：
原点的两侧各有一个，则
Δ (m 3) 2 4m 0
1
x1 x2
0
m
m＜ 0；
Δ (m 3) 2 4m 0,
3m x1 x2 2m 0,
x1 x2 1 0,
2，
f (x) x2 [ a ，0]
a f ( x)
2，
2 ，又由左图得到方程 f[f(x)]=0
最多有三个解，故 (3) 错
a
g( x) x0 ( ，a)
误；由右图及 g[g(x)]=0 得
2 ，由右图知方程 g[g(x)]=0 有且仅有一
个解，即 (4) 正确，所以应选择 B
2、已知关于 x 的二次方程 x2 2mx 2m 1 0 。
f (0) 2m 1 0, f ( 1) 2 0, f (1) 4m 2 0, f (2) 6m 5 0
m1 2
m R,
m 1, 2
5 m
5
1
m
6∴ 6
2.
(2) 据抛物线与 x 轴交点落在区间 (0 ， 1) 内，列不等式组
f (0) 0, f (1) 0,
0, 0 m1
1
m
,
2
1
m
,
2
m 1 2或 m 1
即零点是一个实数。 题型 2：确定函数零点的个数。 [ 例 2] 求函数 f(x)=lnx ＋ 2x －6 的零点个数 . [ 解题思路 ] 求函数 f(x)=lnx ＋2x －6 的零点个数就是求方程 数
lnx ＋2x －6=0 的解的个
[ 解析 ] 方法一：易证 f(x)= lnx ＋2x －6 在定义域 (0, ) 上连续单调递增，
1
2
f (2) 0 ，即 4 2k 4 2k 1 0 ，解得 2 k 3 。
2
（三）、小结反思： 本课主要注意以下几个问题： 1．利用函数的图象求方程的解的个 数； 2．一元二次方程的根的分布； 3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题 。
补充题： 1、定义域和值域均为 [-a,a] ( 常数 a>0)的函数 y=f(x) 和 y=g(x) 的图像如图 所示，给出下列四个命题中：
[ 解析 ] 若 a 0 , f (x) 2x 3 , 显然在 1,1 上没有零点 , 所以 a 0.
37
令
4 8a 3 a
8a2 24a 4 0 ,
a 解得
2
∴ ( x 2)( x 1)(x 1) 0 ，∴ x 1或x 1或x 2
即函数 y x3 2 x2 x 2 的零点为 -1 ，1，2。
[ 反思归纳 ] 函数的零点不是点，而是函数函数 y f ( x) 的图像与 x 轴交点的横坐标，
都在原点右侧，则
m
解得 0＜ m≤ 1，综上可得 m∈（－∞， 1］。
[ 反思归纳 ] 二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论：
①方程 f （x）=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 a·f （r ）＜ 0.
m0
m0
( 2) 2 4m 0
a a 1或
35 2。
[ 反思归纳 ] 求函数 y f ( x) 的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程 f ( x) 0 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可 以将它与函数 y f ( x) 的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围
1 m 0.
2, (这里 0<－m<1 是因为对称轴 x= －m 应在区间 (0 ，1)内通
过 ) 即解得 1 m 1 2
2 ．∴ m
1 ,1 2 ． 2
三个解，即 (1) 正确；由右图及
g[f(x)]=0
a
f ( x) x0 ( ， a)
得
2 ，由左图知方程
f (x) x1 [ a， a ]
g[f(x)]=0 有且仅有一个解，故 (2) 错误；由左图及 f[f(x)]=0 得
( 2) 2 4m 0
[ 解析 ] B ；依题意得（ 1） f (0) 0
或（ 2） f (0) 0
或
m0
（3）
( 2) 2 4m 0 显然（ 1）无解；解（ 2）得 m 0 ；解（ 3）得 m 1
又当 m 0 时 f ( x) 2 x 1，它显然有一个正实数的零点，所以应选 B。
2、方程 2 x x2 3 的实数解的个数为 _______ 。
函数零点的求法及零点的个数
题型 1：求函数的零点。
3
2
[ 例 1] 求函数 y x 2x x 2 的零点 .
[ 解题思路 ] 求函数 y x3 2x2 x 2 的零点就是求方程 x3 2x 2 x 2 0 的根
[ 解析 ] 令 x3 2x2 x 2 0 ，∴ x2 (x 2) ( x 2) 0
[ 解题思路 ] 要求参数 a 的取值范围，就要从函数 y f x 在区间 1,1 上有零点寻找关 于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到 a 作为 x 2的系数，故要对 a 进行讨论
(1) 方程 f[g(x)]=0 有且仅有三个解；
(3) 方程 f[f(x)]=0 有且仅有九个解；
那么，其中正确命题的个数是（
y
)。
a
(2) 方程 g[f(x)]=0 (4) 方程 g[g(x)]=0 A ． 1; B. 2; C. 3;
y
a
有且仅有三个解； 有且仅有一个解。
D. 4 。
y f(x)
y g(x)
O
a
ax
a
O
ax
a
a
[ 解析 ] B ；由图可知， f (x) [ a， a] ， g( x) [ a， a] ，由左图及 f[g(x)]=0 得
g (x)
a x1 [ a， ]
g( x) x2 [ a ，0]
g(x)
a
2，
2，
2 ，由右知方程 f[g(x)]=0 有且仅有
(1 ， 2) 内，画出示意图，得
1、函数 f x mx2 2x 1 有且仅有一个正实数的零点， 则实数 m 的取值范围是 （ A． ,1 ；B． ,0 1 ；C． ,0 0,1 ；D． ,1
）。
1 k
[ 解析 ] 2
2 3 ；令 f (x)
2
x ( k 2) x 2k 1，则依题意得
f (0) 0
2k 1 0
f (1) 0
1 k 2 2k 1 0
(1) 若方程有两根 , 其中一根在区间 ( －1，0) 内，另一根在区间 (1 ， 2) 内，求 m的范围。 (2) 若方程两根均在区间 (0 ，1) 内，求 m的范围。
[ 解析 ](1) 条件说明抛物线 f (x) x2 2mx 2m 1与 x 轴的交点分别在区间 ( －1，0) 和
3
[ 反思归纳 ] ①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高 考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是 抓住了关键 .
②二次函数 f (x) ax 2 bx c 的图像形状、 对称轴、 顶点坐标、 开口方向等是处理二次
函数问题的重要依据。 考点 3 根的分布问题
又有 f (1) f (4) 0 ，所以函数 f(x)= lnx ＋2x －6 只有一个零点。 方法二：求函数 f(x)=lnx ＋ 2x －6 的零点个数即是求方程 lnx ＋ 2x － 6=0 的解的个数
a ①当
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37 2 时,
y f x 恰有一个零点在
1,1 上;
②当 f 1 f 1 a 1 a 5 0 ，即 1 a 5 时， y 点。