正弦电路的功率

1 • UC = − j I = − j 80 × 2∠ − 8.1 = 160∠ − 98.1 V wC
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（4）电路功率 平均功率（有功功率） 平均功率（有功功率）为：
P = UI cos ϕ = 100 × 2 × cos 53.1 = 120 W
无功功率
Q = UI sin ϕ = 100 × 2 × sin 53.1 = 160 Var
电感、电容的平均功率： 电感、电容的平均功率： 此时二端网络电压与电流相位为正交关系， 此时二端网络电压与电流相位为正交关系，即ϕ cosϕ=0， =ψu-ψi=±90o，则cosϕ=0，则瞬时功率为 (t） UIsin（ +2ψ pL(t）= -UIsin（2wt +2ψu） pC（t）= UIsin（2wt +2ψu） UIsin（ +2ψ
用电容器与感性负载并联，这样可使电感的磁 用电容器与感性负载并联， 方法：场能量与电容的电场能量进行部分交换，从而减少 场能量与电容的电场能量进行部分交换， 了电源与负载间能量的交换， 了电源与负载间能量的交换，即减少了电源提供给 负载的无功功率，也就提高了功率因数。 负载的无功功率，也就提高了功率因数。
一、瞬时功率 下图所示二端网络， 下图所示二端网络，在端口电压电流采用关联参 考方向的前提下， 考方向的前提下，它吸收的瞬时功率表达式为 u（ p（ t） = u（ t） i（ t） 由于二端网络工作于正弦稳态 的情况下， 的情况下，端口电压和电流是同频 率的正弦量，则瞬时功率为： 率的正弦量，则瞬时功率为：
~ S = S = UI
功率三角形： 功率三角形： 下图所示为RLC串联电路的功率三角形： 下图所示为RLC串联电路的功率三角形： RLC串联电路的功率三角形
它的三条边分别表示电路的有功功率P、 它的三条边分别表示电路的有功功率 、 无功功率Q和视在功率 和视在功率S， 无功功率 和视在功率 ，所以这个三角形 叫做功率三角形。 叫做功率三角形。
二、平均功率 物理意义： 物理意义： 表征二端网络的能量消耗情况。 表征二端网络的能量消耗情况。用P表示，单位 表示， 瓦特（ 瓦特（W）。
定义： 定义： 平均功率是指周期性变化的瞬时功率在一个周期 内的平均值。其定义式为： 内的平均值。其定义式为：
1 P= T
∫ p(t ) d t
0
T
1 = T
u（ =2UIsin（ωt+φ sin（ωt+φ p（t）= u（t）i（t）=2UIsin（ωt+ i）sin（ωt+φu） UIcos- UIcos（2wt+2φ = UIcos- UIcos（2wt+2φu - φ） ）
上式表明：瞬时功率 （ ） 上式表明：瞬时功率p（t）作周 期性变化，且有正有负， 期性变化，且有正有负，表明二端网 络既消耗功率，也能发出功率。 络既消耗功率，也能发出功率。
纯电阻的平均功率： 纯电阻的平均功率： 此时二端网络的端电压、端电流相位相同， 此时二端网络的端电压、端电流相位相同，即ϕ =0， cosϕ=1，sinϕ=0， = ψu-ψi=0，则cosϕ=1，sinϕ=0，则平均功率
U2 P = UI = I 2 R = R
注意：
由上式可见，在正弦稳态中，采用电压、 由上式可见，在正弦稳态中，采用电压、电流有 效值后，计算电阻消耗5 效值后，计算电阻消耗5的平均功率公式从形式上看 与直流电路中相同，但符号代表的含义不同。 与直流电路中相同，但符号代表的含义不同。
λ = cos ϕ =
P UI
二、功率因数的物理意义
功率因数介于0 功率因数介于0和1之间，当功率因数不等于1时， 之间，当功率因数不等于1 电路中发生能量交换，出现无功功率， 角越大， 电路中发生能量交换，出现无功功率，ϕ 角越大，功 率因数愈低，发电机发出的有功功率就愈小， 率因数愈低，发电机发出的有功功率就愈小，而无功 功率就愈大。无功功率愈大， 功率就愈大。无功功率愈大，即电路中能量交换的规 模愈大，发电机发出的能量就不能充分为负载所吸收， 模愈大，发电机发出的能量就不能充分为负载所吸收， 其中一部分，在发电机与负载之间进行交换，这样， 其中一部分，在发电机与负载之间进行交换，这样， 发电设备的容量就不能充分利用。 发电设备的容量就不能充分利用。
∫
T
0
[UI cosϕ − UI cos(2wt + ψ u + ψ i )] d t = UI cosϕ
强调：
平均功率是一个重要的概念，得到广泛使用。 平均功率是一个重要的概念，得到广泛使用。通 常所说某个家用电器消耗多少瓦的功率， 常所说某个家用电器消耗多少瓦的功率，就是指它的 平均功率，简称功率。 平均功率，简称功率。
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U 100∠45 = = 2 ∠ − 8 .1 A Z 50∠53.1
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sin（314t–8.1 i（t）=2 2 sin（314t 8.1o）A （3）各元件电压
U R = R I = 30 × 2∠ − 8.1 = 60∠ − 8.1 V
U L = j wL I = j120 × 2∠ − 8.1 = 240∠81.9 V
由上两式可以看出，电感或电 容的瞬时功率随时间按正弦规律变 化，正负值交替，一段时间内 p（t） ＞0，电感或电容吸收功率；另一段 时间内p（t）＜0，电感或电容发出 功率。
平均功率为 cos± P = UI cos±90o）= 0
表明：
正弦稳态中， 正弦稳态中，储能元件电感或电容的平均功率等 于零，不消耗能量， 于零，不消耗能量，但和电源之间存在能量的交换作 即在前半个周期吸收电源的功率并储存起来， 用，即在前半个周期吸收电源的功率并储存起来，后 半个周期又将其全部释放， 半个周期又将其全部释放，这种能量交换的速率用另 外一种功率——无功功率来描述。 无功功率来描述 外一种功率 无功功率来描述。
【例18-1】
由电阻R Ω，电感L =382mH，电容C 由电阻R =30 Ω，电感L =382mH，电容C =40uF 组成的串联电路，接于电压u 100sin（ 组成的串联电路，接于电压u（t）= 100sin（314t+ 的电源上，试求：（ ：（1 电路阻抗Z；（2 45o）V的电源上，试求：（1）电路阻抗Z；（2）电 路电流i；（3 各元件电压的相量；（ ；（4 路电流i；（3）各元件电压的相量；（4）电路的功 率 P、 Q、 S。
解：（1）电路阻抗
Z = R + j(wL − 1 1 ) = 30 + j(314 × 382 × 10 −3 − wC 314 × 40 × 10 −6
4 = 30 + j(120 − 80) = 30 + j 40 = 50∠ arc tan = 50∠53 ⋅ 1 Ω 3
（2）电路电流
I=
视在功率
S = UI = 100 × 2 = 200 VA
9.2 功率因数的提高
一、功率因数的定义 在二端网络电压电流有效值的乘积UI一定的情况 在二端网络电压电流有效值的乘积UI一定的情况 UI 二端网络吸收的平均功率P cosϕ 下，二端网络吸收的平均功率P与cosϕ 的大小密切相 cosϕ 表示功率的利用程度，称为功率因数， 关，cosϕ 表示功率的利用程度，称为功率因数，记 为 λ。
【例18-2】
下图（ 下图（a）所示电路表示电压源向一个电感性负载供电的 电路模型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。 电路模型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。
解：图（a）电路中的电流为
U S 10∠0 o I = I1 = = = 2∠ − 53 ⋅ 1o Z 3 + j4
• • •
三、复功率、视在功率和无功功率 复功率、 复功率： 复功率： 定义 电压相量与电流相量的共轭复数的乘积 称为复功率。其表达式为： 称为复功率。其表达式为：
~ • • S = U ⋅ I = UI∠ψ u − ψ i = UI∠ϕ
= UI cos ϕ + jUI sin ϕ = P + j Q
*
实部P 实部 = UIcos称为有功 称为有功 功率， 功率，它是二端网络吸收的 平均功率，单位为瓦（ ）。 平均功率，单位为瓦（W）。
18讲 第18讲 正弦电路的功率
重点： 重点： 1、正弦电路的瞬时功率和平均功率； 正弦电路的瞬时功率和平均功率； 2、正弦电路的无功功率及视在功率； 正弦电路的无功功率及视在功率； 3、储能元件的功率特性； 储能元件的功率特性； 4、功率因数的物理意义及提高方法。 功率因数的物理意义及提高方法。
9.1 正弦电路的功率
举例：
一台容量为100 kVA的变压器 的变压器， 一台容量为100 kVA的变压器，若负载的功率因 =0.9，变压器能输出90kW的有功功率； 90kW的有功功率 数λ=0.9，变压器能输出90kW的有功功率；若功率因 =0.6，变压器就只能输出60 kW的有功功率 的有功功率。 数λ=0.6，变压器就只能输出60 kW的有功功率。可见 负载的功率因数低， 负载的功率因数低，电源设备的容量就不能得到充分 利用。因此提高功率因数有很大的经济意义。 利用。因此提高功率因数有很大的经济意义。
无功功率： 无功功率： 复功率的虚部Q 称为无功功率， 复功率的虚部Q 称为无功功率，它反映了电源 与单口网络内储能元件之间能量交换的速率， 与单口网络内储能元件之间能量交换的速率，为与 平均功率相区别，单位为乏（Var）。 平均功率相区别，单位为乏（Var）。 无功功率的表达式为： 无功功率的表达式为： Q = UIsin
的相位差为53.1 其相量图如图（ 所示。 电压U S 与电流 I 的相位差为53.1o，其相量图如图（d）所示。
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二端网络吸收的平均功率为
P = UI cos ϕ = 10 × 2 × cos 53.1 = 12 W
此时的功率因数λ cosϕ 0.6， 此时的功率因数λ = cosϕ = 0.6，功率的利用 率很低。为了提高功率因数，可以在ab ab两端并联一 率很低。为了提高功率因数，可以在ab两端并联一 个电容，如图（b）所示。为分析方便，先将电阻与 个电容，如图（ 所示。为分析方便， 电感串联等效为电阻和电感的并联，如图（ 所示， 电感串联等效为电阻和电感的并联，如图（c）所示， 其电导和电纳（电抗的倒数）值由下式确定： 其电导和电纳（电抗的倒数）值由下式确定：
说明：
对于RLC串联的正弦交流电路而言， 对于RLC串联的正弦交流电路而言，既有耗能元 RLC串联的正弦交流电路而言 又有储能元件。这样在电路中既有能量的消耗， 件，又有储能元件。这样在电路中既有能量的消耗， 又有能量的转换。也就是电路中既有有功功率， 又有能量的转换。也就是电路中既有有功功率，又有 无功功率。 无功功率。
由功率三角形可得： 由功率三角形可得：
S = P2 + Q2
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Q ϕ = arctan P
说明：
以上关于RLC串联电路的有功功率、无功功率、 以上关于RLC串联电路的有功功率、无功功率、 RLC串联电路的有功功率 视在功率的计算公式也适用于一般的正弦交流电路。 视在功率的计算公式也适用于一般的正弦交流电路。
视在功率： 视在功率： 复功率的模称为视在功率， 表示， 复功率的模称为视在功率，用S表示，它表征一 视在功率 个电气设备的功率容量，为与其它功率相区别，用 个电气设备的功率容量，为与其它功率相区别， 伏安（V•A）作单位。例如我们说某个发电机的容量 伏安（ A 作单位。 kV•A 而不说其容量是100 kW。显然， 为100 kV A，而不说其容量是100 kW。显然，视在 功率是二端网络所吸收平均功率的最大值。 功率是二端网络所吸收平均功率的最大值。
说明：
常用的交流感应电动机在额定负载时， 常用的交流感应电动机在额定负载时，功率因数 约在0.8 0.85，轻载时只有0.4 0.5， 0.8～ 0.4～ 约在0.8～0.85，轻载时只有0.4～0.5，而在空载时 仅为0.2 0.3，因此选择与机械配套的电机容量时， 0.2～ 仅为0.2～0.3，因此选择与机械配套的电机容量时， 不宜选得过大，并且应在额定情况下工作， 不宜选得过大，并且应在额定情况下工作，避免或尽 量减少电机的轻载或空载。不装电容器的日光灯， 量减少电机的轻载或空载。不装电容器的日光灯，功 率因数约在0.45 0.6左右 0.45～ 左右。 率因数约在0.45～0.6左右。 怎样提高电路的功率因数？ 问题：怎样提高电路的功率因数？