复变函数经典例的题目

那一支。 , 所以它在闭圆
上单值解析。于是
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（ 2）因为
上解析
故
（ 3）因为 的支点为
，其单值分支在圆
，所以由柯西积分定理 3.9
。
例 3.7 设 为围线 内部一点，则
。 内解析，并连续到边界
证 以 为圆心画圆周 ，使 全含于 的内部，则由复围线的柯西积分定理得
再由例 3.2 即得要证明的结论。 例 3.8 计算积分
故
的终值较初值增加了一个因子
，未发生变化。
（ b）
可能的支点是 0， 1， 。设
含 1 但不含 0，和既含 0 又含 1 的简单闭曲线，则
分别是含 0 但不含 1，
结果
的终值较初值均发生了变化。故 0， 1， 都是支点，此外别无支点。
例 2.9 试说明
在点
取负值的那个分支在
在将 平面适当割开后能分出三个解析分支。并求出 的值
（ 3）因 。
，故
。 ，在 平面上对应的图形为：直线
例 1.2 设
在点 连续，且
证因
在点 连续，则
，则
在点 的某以邻域内恒不为 0.
，只要
，就有
特别，取
，则由上面的不等式得
因此，
在 邻域
例 1.3 设
内就恒不为 0。
试证
在原点无极限，从而在原点不连续。
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证 令变点
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，则
从而
（沿正实轴
。
例 3.4 计算积分
其中积分路径 为：
（1） 连接由点 到点 的直线段；
（2） 连接由点 到点 1 的直线段及连接由点 1 到点
的直线段所组成的折线。
解 （ 1） 连接 及 的直线段的参数方程为：
（
），
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故
（2）连接 与 1 的直线段的参数方程：
。 连接点 1 与 的直线段的参数方程为：
，
所以
。
注 当 为闭曲线时，
例 3.2 （重要的常用例子）
这里 表示以 为心， 为半径的圆周。（注意，积分值与
, 均无关）。
证
的参数方程为：
。故
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当 为整数且
时
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；
例 3.3 试证
。积分路径 是连接 和
证
的参数方程为
的直线段
即 沿 ， 连续，且
而 之长为 2 ，故由定理 3.2 ，
解因
在闭圆
上解析，由柯西积分公式得
定理 3.11 的特殊情形，有如下的解析函数的平均值定理。
例 3.9 设
在
上解析。如果存在
，使当
时
而且
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试证：在圆
内
至少有一个零点。
证 反证法，设
在
内无零点， 而由题设
在
上也无零点。 于是
在闭圆
上解析。由解析函数的平均值定理，
）
而沿第一象限的平分角线
，
时，
。
故
在原点无确定的极限，从而在原点不连续。
第二章例题
例 2.1
在 平面上处处不可微
证 易知该函数在 平面上处处连续。但
当
时，极限不存在。因
取实数趋于 0 时，起极限为 1， 取纯虚数而趋于
零时，其极限为－ 1。故 处处不可微。
例 2.2 函数 证因
在
满足定理 2.1 的条件，但在
的可微性和解析性，并求
。
,而
在复平面上处处连续且满足
条件，从而
在 平面上处处可微，也处处解析。且 。
例 2.6 设
确定在从原点
之值。
解设
，则
起沿负实轴割破了的 平面上且
，试求
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由
代入得
解得：
，从而
例 2.7 设
则
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。
且 的主值为
。
例 2.8 考查下列二函数有哪些支点 (a)
(b)
解 （ a）作一条内部含 0 但不含 1 的简单闭曲线 , 当 沿 正方向绕行一周时 , 的辐
角得到增量 ,
的辐角没有改变 , 即
从而
故
的终值较初值增加了一个因子
，发生了变化， 可见 0 是
的
支点。同理 1 也是其支点。
任何异于 0， 1 的有限点都不可能是支点。因若设
是含
但不含 0， 1 的简
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单闭曲线，则
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故
的终值较初值增加了一个因子
，未发生变化。
最后
不是
的支点。因若设 含 0， 1 的简单闭曲线，则
的值增加了
，
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的值未改变，从而，
的值增加了
，
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从一支变成另一支。故
是支点，同理
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也都是支点，此外无其它支点。故
在割去“从 -1 到 的直线段”，“从 到 1 的直线段”与射线“ 的 平面内能分出单值解析分支。
且
”
现设 是一条连接起点
和终点
且不穿过支割线的简单曲线。则
故
这就是所要求之值。
解 易知
的支点是
。因此，将 平面沿正实轴从 0 到 1 割开，
再沿负实轴割开。在这样割开后的
平面 上，
能分出三个解析分支。
现取一条从
到
的有向曲线 （不穿过支割线），则
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于是
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又由题设，可取
。故得
（ 3） 关于对数函数的已给单值解析分支 的终值：
。 ，我们可以借助下面的公式来计算它
即
其中 是一条连接起点 和终点 且不穿过支割线的简单曲线； 件那一支在起点 之值的虚部，是一个确定的值。
是满足条
例 2.10 试说明
在割去“从 -1 到 的直线段”，“从 到 1 的直线段”与射
线“
且
”的 平面内能分出单值解析分支。 并求
的值。
解
的支点为
。这是因
时等于零的那一支在
当变点 单绕
一周时，
故
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第一章例题
例 1.1 试问函数
把 平面上的下列曲线分别变成
（ 1）以原点为心， 2 为半径，在第一象项里的圆弧；
平面上的何种曲线？
（ 2）倾角
的直线；
（ 3）双曲线
。
解设
，则
因此 （ 1）在 平面上对应的图形为：以原点为心，
4 为半径，在上半平面的半圆周。
（ 2）在 平面上对应的图形为：射线
例 2.11 求反正弦
。
解
例 2.12 求 解
。 第三章例题 例 3.1 命 表连接点 及 的任一曲线，试证
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（ 1） 证 （ 1）因
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（ 2）
，故
（2）因
,选
但我们又可选
，则得
，即 则得
，
由定理 3.1 ，可知积分
存在，因而 的极限存在，且应与
及
的极限
相等，从而应与
的极限相等。今
，
即
，
故 由此例可以看出，积分路径不同，积分结果可以不同。
例 3.5 计算积分
解 在单连通区域 ：
内，函数
在 内解析，故由牛顿—莱布尼兹公式
有
。 的一个原函数， 且
例 3.6 计算下列积分
（ 1）
，
（ 2）
，其中 为右半圆周，
，
，起点为
, 终点为 ；
（ 3）
解 （ 1）因为 由柯西积分定理 3.9
的支点为
。故
不可微。
但
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在
时无极限，这是因让
沿射线
随
而趋于零，即知上式趋于一个与
有关的值
。
例 2.3 讨论 解因
的解析性
,故
要使
条件成立，必有
，故
只在
可微，从而，处处不解析。
例 2.4 讨论 解因
的可微性和解析性 ,故
要使
条件成立，必有
处不解析。
例 2.5 讨论 解因
，故
只在直线
上可微，从而，处