信号与系统-第四章-系统s域分析
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1．拉普拉斯正变换 系统实际问题中考虑信号为因果信号，则
F ( )
0
f (t ) e jt d t
信号f(t)乘以衰减因子 e t ，满足绝对可积条件， 傅氏变换可求： t j t f (t ) e ( j )t d t
f (t ) e e
1 s 若L[ f (t )] F ( s ) , 则 L[ f (at )] F ( ), a 0 a a
1 s s a L[ f (at b)u (at b)] F ( )e a a
7
b
《信号与线性系统》
第四章 连ห้องสมุดไป่ตู้时间系统的s域分析
(七)
初值定理
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s)
3. 第一种情况：单阶实数极点
A( s ) F ( s) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根 (m<n)
kn k1 k2 F ( s) s p1 s p2 s pn
《信号与线性系统》
12
第四章 连续时间系统的s域分析
时域的微分性
《信号与线性系统》
6
第四章 连续时间系统的s域分析
四
时移特性
若 L[ f (t )] F ( s), 则 L[ f (t t 0 )u (t t 0 )] e st0 F ( s), t0 0
注意： f (t )u(t )延时t0后为f (t t0 )u(t t0 )而非f (t t0 )u(t ) 五 S域平移特性
第四章 连续时间系统的s域分析
第四章 连续时间系统的s域分析
连续时间系统时域分析方法回顾。
变换域分析是信号与系统分析的一种重要思想方法。
建立系统的频域分析概念和思想。 系统函数H(s)。
《信号与线性系统》
1
第四章 连续时间系统的s域分析
4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1 5 6 求系数 所以 F ( s ) s 1 s 2 s 3
(3)逆变换
根据L e
t
1 ut s α
得 : f ( t ) e t 5 e 2t 6 e 3t
《信号与线性系统》
13
t 0
第四章 连续时间系统的s域分析
4. 第二种情况：极点为共轭复数
sa 2 (s )2
求得
f t e
t
cos t
α
β
e t sin t t 0
s2 3 例4 10 : 求F ( s) 的逆变换f (t )。 2 ( s 2)( s 2s 5)
《信号与线性系统》
二
1 f ( 1) (0) 三 时域的积分性 L[ f ( )d ] F ( s) s s 时域微分性和积分性可将f(t)微分方程和积分方程化为 复频域F(s)的代数方程，而且自动引入初始状态，因而 通过复频域分析法可求得系统的全响应。(例4～4）
t
df (t ) 若 L[ f (t )] F ( s ) , 则 L[ ] sF ( s ) f (0 ) dt n 推论 L[ d f (t ) ] s n F ( s) s n 1 f (0 ) s n 2 f (0 ) f ( n 1) (0 ) dt n
d F ( s) (十) 复频域微分 tf (t ) ds
L
n d F ( s) L n 推论 t n f (t ) (1) ds n
例：p251 4-4(16)
f (t ) L F ( s )ds (十一) 复频域积分 s t
例：p262 4-4(20)
《信号与线性系统》
例：(1) (t )
0 a
(2) tu(t ) (3) t neat u(t ) (4) sinω0t u(t )
4
《信号与线性系统》
第四章 连续时间系统的s域分析
三 常见信号的拉氏变换
1、冲激信号 2、阶跃信号
L st0
(t ) 1
(t t0 ) e
4、正幂信号
适用于任意周期信号求拉氏变换，F1(s) 因信号不同而不同。
抽样信号的拉氏变换
T (t ) (t nT )
n 0
L[ f s (t )]
《信号与线性系统》
0
n 0
f (nT ) (t nT )e st dt f (nT )e nsT
n 0
14
第四章 连续时间系统的s域分析
5. 第三种情况：有重根存在
s2 k3 k1 k2 F ( s) 2 ( s 2)( s 1) s 2 s 1 ( s 1) 2
s2 k1 ( s 2) ( s 2)( s 1) 2 4
s 2
2 s k 3 ( s 1) 2 ( s 2)( s 1) 2
t 0 s
注：初值定理应用的条件是F(s)是真分式，若不是，则在t=0 处有冲激及其导数产生。 F(s)可写成多项式和真分式之和。
F (s) P(s) F0 (s)
(八)
f (0 ) lim sF0 ( s )
s
终值定理 f () lim f (t ) lim sF ( s)
9
第四章 连续时间系统的s域分析
周期信号的拉氏变换
fT f1 (t ) f1 (t T ) f1 (t 2T )
FT (s) F1 (s) F1 (s)e-sT F1 (s)e-2sT F1 (s)(1 e-sT e-2sT )
1 F1 ( s ) 1 e -sT
求k2 , 两边对s求一次导, 再令s 1
F ( s) 4 3 1 s 2 s 1 ( s 1)2
f (t ) 4 e 2t 3 e t t e t
15
t 0
《信号与线性系统》
第四章 连续时间系统的s域分析
一般情况
k1( k 1) k1k A(s) k11 k12 k k k 1 2 (s p1 ) (s p1 ) (s p1 ) (s p1 ) s p1
拉氏变换的0-系统 （P191）
采用0-系统，可以把0- 至0+ 的变化反映出来。
《信号与线性系统》
5
第四章 连续时间系统的s域分析
4.3 拉氏变换的基本性质
一 线性特性： 例 求f(t)=sin(t)的拉氏变换F(s).
f (t ) sin( t ) 1 (e jt e jt ) 2j
t s 0
注：终值定理应用的条件是F(s)的极点必须位于左半平面， 或原点处有一阶极点。
s 2 2s 1 求F ( s) 3 2 在时域中 f (t )的初值和终值。 s s 4s 6
《信号与线性系统》
8
第四章 连续时间系统的s域分析
(九)
卷积定理
时域卷积定理 L[ f1 (t )u(t) f 2 (t )u(t)] F1 (s) F2 (s) 频域卷积定理
3、指数函数信号
1 u (t ) s
s s 2 0
2
e
t
1 u (t ) s
0 2 s 2 0
5、余弦信号
6、正弦信号
sin 0 tu(t )
n! t u (t ) n 1 s
n
cos 0 tu(t )
我们所讨论的（单边）拉氏变换是从0点开始积分的，因 此，t<0区间的函数值与变换结果无关（图4－3）。取逆 变换时只能给出t>=0时间范围内信号。
第四章 连续时间系统的s域分析
二 拉氏变换的收敛域
t lim f ( t ) e 0 欲使F(s)存在，则必须满足条件：t
解得：
0
j
有始有终信号 整个平面
j
0 0
收 敛 轴
收 敛 域
=Re(s)
等幅振荡信号 sin(t)u(t)及tu(t)等
0 0
f (t ) eat
1
s 1
如何求k2 ?
设法使部分分式只保留k2，其他分式为0
s2 2 k1 ( s 1) k2 ( s 1) k3 s2 s2
d s2 s 2 4s k2 ( ) ds s 2 ( s 2) 2 3
s 1
对原式两边乘以 ( s 1) 2
零点
极点
p1 , p2 , p3 pn 是Bs 0的根, 称为F s 的极点
11
z1 , z2 , z3 zm 是As 0的根, 称为F s 的零点
《信号与线性系统》
第四章 连续时间系统的s域分析
2．部分分式展开法求拉氏逆变换的步骤
• • • 找出F(s)的极点。 将F(s)展开成部分分式之和。 f(t)为各分式逆变换之和。
σ j 1 1 st F s e ds f t L f t σ j 2π j
与傅氏变换的区别p187 单边拉氏变换
双边拉氏变换
《信号与线性系统》
F s L f t f t e s t d t σ j 1 1 st f t L f t F s e ds σ j 2π j 3
若 L[ f (t )] F ( s), 则 L[ f (t )e -t ] F ( s ) sa at 例 L[e at sin( t )] , L [ e cos( t )] ( s a) 2 2 ( s a) 2 2
六
尺度变换特性
10
第四章 连续时间系统的s域分析
4.4 拉普拉斯逆变换-----部分分式展开法
一．由象函数求原函数的三种方法
(1)部分分式展开法
(2)利用留数定理——围线积分法
(3)数值计算方法——利用计算机
二．部分分式展开法 1 F(s)的一般形式 A(s) am s m am1s m1 a1s a0 am (s z1 )( s z2 )(s zm ) F ( s) n n 1 B(s) bn s bn1s b1s b0 bn (s p1 )( s p2 )(s pn )
0
dt
0
F ( j )
令 : j s , 具有频率的量纲 , 称为复频率。
则
F s f t e s t dt
0
《信号与线性系统》
2
第四章 连续时间系统的s域分析
2．拉氏逆变换
f t e t 是 F j 的傅立叶逆变换
f t e
t
1 j t F j e d 2π
两边同乘以 e t： f t
3．拉氏变换对 F s L f t f t e s t d t 0
1 j t F j e d 2π 1 j st f t F s e ds 至4.11节之前只讨论单边拉氏变换 j 2π j
s F s s a 2 2
L e t sin t
F(s)具有共轭极点，不必 展开成单极点项, 利用
, L e t cos t
(s )2 s F s s a 2 2 s a 2 2
2s 2 3s 3 例F ( s) 3 ，求f(t) 2 s 6s 11s 6
2s 2 3s 3 (1)找极点 F s ( s 1)( s 2)( s 3)
k3 k1 k2 (2)展成部分分式 F s s1 s 2 s 3
F ( )
0
f (t ) e jt d t
信号f(t)乘以衰减因子 e t ，满足绝对可积条件， 傅氏变换可求： t j t f (t ) e ( j )t d t
f (t ) e e
1 s 若L[ f (t )] F ( s ) , 则 L[ f (at )] F ( ), a 0 a a
1 s s a L[ f (at b)u (at b)] F ( )e a a
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b
《信号与线性系统》
第四章 连ห้องสมุดไป่ตู้时间系统的s域分析
(七)
初值定理
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s)
3. 第一种情况：单阶实数极点
A( s ) F ( s) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根 (m<n)
kn k1 k2 F ( s) s p1 s p2 s pn
《信号与线性系统》
12
第四章 连续时间系统的s域分析
时域的微分性
《信号与线性系统》
6
第四章 连续时间系统的s域分析
四
时移特性
若 L[ f (t )] F ( s), 则 L[ f (t t 0 )u (t t 0 )] e st0 F ( s), t0 0
注意： f (t )u(t )延时t0后为f (t t0 )u(t t0 )而非f (t t0 )u(t ) 五 S域平移特性
第四章 连续时间系统的s域分析
第四章 连续时间系统的s域分析
连续时间系统时域分析方法回顾。
变换域分析是信号与系统分析的一种重要思想方法。
建立系统的频域分析概念和思想。 系统函数H(s)。
《信号与线性系统》
1
第四章 连续时间系统的s域分析
4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1 5 6 求系数 所以 F ( s ) s 1 s 2 s 3
(3)逆变换
根据L e
t
1 ut s α
得 : f ( t ) e t 5 e 2t 6 e 3t
《信号与线性系统》
13
t 0
第四章 连续时间系统的s域分析
4. 第二种情况：极点为共轭复数
sa 2 (s )2
求得
f t e
t
cos t
α
β
e t sin t t 0
s2 3 例4 10 : 求F ( s) 的逆变换f (t )。 2 ( s 2)( s 2s 5)
《信号与线性系统》
二
1 f ( 1) (0) 三 时域的积分性 L[ f ( )d ] F ( s) s s 时域微分性和积分性可将f(t)微分方程和积分方程化为 复频域F(s)的代数方程，而且自动引入初始状态，因而 通过复频域分析法可求得系统的全响应。(例4～4）
t
df (t ) 若 L[ f (t )] F ( s ) , 则 L[ ] sF ( s ) f (0 ) dt n 推论 L[ d f (t ) ] s n F ( s) s n 1 f (0 ) s n 2 f (0 ) f ( n 1) (0 ) dt n
d F ( s) (十) 复频域微分 tf (t ) ds
L
n d F ( s) L n 推论 t n f (t ) (1) ds n
例：p251 4-4(16)
f (t ) L F ( s )ds (十一) 复频域积分 s t
例：p262 4-4(20)
《信号与线性系统》
例：(1) (t )
0 a
(2) tu(t ) (3) t neat u(t ) (4) sinω0t u(t )
4
《信号与线性系统》
第四章 连续时间系统的s域分析
三 常见信号的拉氏变换
1、冲激信号 2、阶跃信号
L st0
(t ) 1
(t t0 ) e
4、正幂信号
适用于任意周期信号求拉氏变换，F1(s) 因信号不同而不同。
抽样信号的拉氏变换
T (t ) (t nT )
n 0
L[ f s (t )]
《信号与线性系统》
0
n 0
f (nT ) (t nT )e st dt f (nT )e nsT
n 0
14
第四章 连续时间系统的s域分析
5. 第三种情况：有重根存在
s2 k3 k1 k2 F ( s) 2 ( s 2)( s 1) s 2 s 1 ( s 1) 2
s2 k1 ( s 2) ( s 2)( s 1) 2 4
s 2
2 s k 3 ( s 1) 2 ( s 2)( s 1) 2
t 0 s
注：初值定理应用的条件是F(s)是真分式，若不是，则在t=0 处有冲激及其导数产生。 F(s)可写成多项式和真分式之和。
F (s) P(s) F0 (s)
(八)
f (0 ) lim sF0 ( s )
s
终值定理 f () lim f (t ) lim sF ( s)
9
第四章 连续时间系统的s域分析
周期信号的拉氏变换
fT f1 (t ) f1 (t T ) f1 (t 2T )
FT (s) F1 (s) F1 (s)e-sT F1 (s)e-2sT F1 (s)(1 e-sT e-2sT )
1 F1 ( s ) 1 e -sT
求k2 , 两边对s求一次导, 再令s 1
F ( s) 4 3 1 s 2 s 1 ( s 1)2
f (t ) 4 e 2t 3 e t t e t
15
t 0
《信号与线性系统》
第四章 连续时间系统的s域分析
一般情况
k1( k 1) k1k A(s) k11 k12 k k k 1 2 (s p1 ) (s p1 ) (s p1 ) (s p1 ) s p1
拉氏变换的0-系统 （P191）
采用0-系统，可以把0- 至0+ 的变化反映出来。
《信号与线性系统》
5
第四章 连续时间系统的s域分析
4.3 拉氏变换的基本性质
一 线性特性： 例 求f(t)=sin(t)的拉氏变换F(s).
f (t ) sin( t ) 1 (e jt e jt ) 2j
t s 0
注：终值定理应用的条件是F(s)的极点必须位于左半平面， 或原点处有一阶极点。
s 2 2s 1 求F ( s) 3 2 在时域中 f (t )的初值和终值。 s s 4s 6
《信号与线性系统》
8
第四章 连续时间系统的s域分析
(九)
卷积定理
时域卷积定理 L[ f1 (t )u(t) f 2 (t )u(t)] F1 (s) F2 (s) 频域卷积定理
3、指数函数信号
1 u (t ) s
s s 2 0
2
e
t
1 u (t ) s
0 2 s 2 0
5、余弦信号
6、正弦信号
sin 0 tu(t )
n! t u (t ) n 1 s
n
cos 0 tu(t )
我们所讨论的（单边）拉氏变换是从0点开始积分的，因 此，t<0区间的函数值与变换结果无关（图4－3）。取逆 变换时只能给出t>=0时间范围内信号。
第四章 连续时间系统的s域分析
二 拉氏变换的收敛域
t lim f ( t ) e 0 欲使F(s)存在，则必须满足条件：t
解得：
0
j
有始有终信号 整个平面
j
0 0
收 敛 轴
收 敛 域
=Re(s)
等幅振荡信号 sin(t)u(t)及tu(t)等
0 0
f (t ) eat
1
s 1
如何求k2 ?
设法使部分分式只保留k2，其他分式为0
s2 2 k1 ( s 1) k2 ( s 1) k3 s2 s2
d s2 s 2 4s k2 ( ) ds s 2 ( s 2) 2 3
s 1
对原式两边乘以 ( s 1) 2
零点
极点
p1 , p2 , p3 pn 是Bs 0的根, 称为F s 的极点
11
z1 , z2 , z3 zm 是As 0的根, 称为F s 的零点
《信号与线性系统》
第四章 连续时间系统的s域分析
2．部分分式展开法求拉氏逆变换的步骤
• • • 找出F(s)的极点。 将F(s)展开成部分分式之和。 f(t)为各分式逆变换之和。
σ j 1 1 st F s e ds f t L f t σ j 2π j
与傅氏变换的区别p187 单边拉氏变换
双边拉氏变换
《信号与线性系统》
F s L f t f t e s t d t σ j 1 1 st f t L f t F s e ds σ j 2π j 3
若 L[ f (t )] F ( s), 则 L[ f (t )e -t ] F ( s ) sa at 例 L[e at sin( t )] , L [ e cos( t )] ( s a) 2 2 ( s a) 2 2
六
尺度变换特性
10
第四章 连续时间系统的s域分析
4.4 拉普拉斯逆变换-----部分分式展开法
一．由象函数求原函数的三种方法
(1)部分分式展开法
(2)利用留数定理——围线积分法
(3)数值计算方法——利用计算机
二．部分分式展开法 1 F(s)的一般形式 A(s) am s m am1s m1 a1s a0 am (s z1 )( s z2 )(s zm ) F ( s) n n 1 B(s) bn s bn1s b1s b0 bn (s p1 )( s p2 )(s pn )
0
dt
0
F ( j )
令 : j s , 具有频率的量纲 , 称为复频率。
则
F s f t e s t dt
0
《信号与线性系统》
2
第四章 连续时间系统的s域分析
2．拉氏逆变换
f t e t 是 F j 的傅立叶逆变换
f t e
t
1 j t F j e d 2π
两边同乘以 e t： f t
3．拉氏变换对 F s L f t f t e s t d t 0
1 j t F j e d 2π 1 j st f t F s e ds 至4.11节之前只讨论单边拉氏变换 j 2π j
s F s s a 2 2
L e t sin t
F(s)具有共轭极点，不必 展开成单极点项, 利用
, L e t cos t
(s )2 s F s s a 2 2 s a 2 2
2s 2 3s 3 例F ( s) 3 ，求f(t) 2 s 6s 11s 6
2s 2 3s 3 (1)找极点 F s ( s 1)( s 2)( s 3)
k3 k1 k2 (2)展成部分分式 F s s1 s 2 s 3