常用的一些矢量运算公式
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常用的一些矢量运算公式
1.三重标量积
如a ,b 和c 是三个矢量,组合
()a b c
⨯•叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三
个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中,设坐标轴向的三个单位矢量标记为
(),,i j k ,令三个矢量的分量记为()()1
2
3
1
2
3
,,,,,a a a a b b b b 及()1
2
3
,,c c c c 则有
(
)()
123123123123
123123
c c c i jk
a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ⨯•=•++=
因此,三重标量积必有如下关系式:
()()()a b c b c a c a b ⨯•=⨯•=⨯•即有循环法则成立,
这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合,其结果相等。
2.三重矢量积
如a ,b 和c 是三个矢量,组合
()
a b c
⨯⨯叫做他们的三重标量积,因有
()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯
故有中心法则成立,这就是说只有改变中间矢量时,三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质(证略):()
()()a b c a b c a c b
⨯⨯=-•+• (1-209)
将矢量作重新排列又有:()()()
a b c b a c b a c
•=⨯⨯+• (1-210)
3.算子(
a ∇
)
∇
是哈密顿算子,它是一个矢量算子。(
a ∇
)则是一个标量算子,将它作用于标量φ
,即
()a φ∇是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量
d r
代替以上矢量a
,则
()dr φ
∇是φ在位移方向
d r
的变化率的
d r
倍,即
d φ
。
()
()d dr dr φφφ=∇=∇
若将
()
dr ∇作用于矢量v
,则
()dr v
∇就是v 再位移方向
d r
变化率的
d r
倍,既为速度矢量
的全微分()
dv dr v
=∇ 应
用
三
重
矢
量
积
公
式
(
1-209
)
()()()
00()()()()
a b a b a b b a a b b a a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=•∇-•∇-∇•+∇•
应用三重矢量积公式(1-210)又有
()()()
00()()()()a b a b a b a b a b b a b a
∇•=∇•+∇•=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇•
将以上两式结合(相减)后可得
()
{()}
1
()()()()()
2
a b a b a b b a a b b a a b ∇=
∇•-∇⨯⨯-⨯∇⨯-⨯∇⨯-∇•+∇• 一个重要的特例,令a b v ==,因()
0v v ∇⨯⨯=则有21
()()
2
v v v v v ∇=∇-⨯∇⨯ 4.算子∇
的应用 令φ是标量,a 是矢量,
;a b
为并矢量,则有
00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a a
a b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ∇=∇+∇=∇•+•∇∇⨯=∇⨯+∇=∇⨯+∇⨯∇⨯∇⨯=∇∇•-∇∇=∇+∇=∇•+•∇
在直角坐标中,令
2222
222
()x y z y x z
x y z
x y z
a ia ja ka i
j k x y z a a a a x y z i jk
a x y z a a a x y z
a a a a x y z
φφφφφφφφφ=++∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∇•=++
∂∂∂∂∂∂∇⨯=
∂∂∂∂∂∂∇=∇•∇=++∂∂∂∂∂∂
∇=++∂∂∂
对一组正交曲线坐标系
123(,,)
εεε,其单位矢量123(,,)
e e e ,将任意位置矢量
R
变分写为
111222333
R h d e h d e h d e δεεε=++
其中
123
,,h h h 为尺度因子(拉美系数)。因在直角坐标中,
R dxi dx j dxk
δ=++,所以
1231h h h ===。在柱坐标
(,,)
r z ϕ中,因
r z
R dre rd e dze ϕδφ=++,所以1321,h h h r
===。在球坐标
(,,)
r θϕ中,因
sin r R dre rd e r e θθ
δθθ=++,所以
1231,,sin h h r h r θ
===。
在任意正交曲线坐标系中,令φ
是标量,矢量
112233
a a e a e a e =++,则有
312112233
231312231123133112233
123123
112233
()()()11e e e h h h h h a h h a h h a a h h h h e h e h e a h h h h a h a h a φφφφξξξξξξξξξ∂∂∂∇=
++
∂∂∂⎫
⎧∂∂∂∇•=
++⎨⎬
∂∂∂⎩⎭
∂∂∂∇⨯=
∂∂∂
单位矢量的旋度和散度为
321
11133122
2311231
2233112123111222333(1,2,3)
()
1(1,2,3)
1()()()e e h h e h h h h h h e h h h h h h h h h h h h h h h ξξξφφφφξξξξξξ∂∂∇⨯=-∂∂∂∇•=∂⎫
⎧∂∂∂∂∂∂∇=
++⎨
⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭
轮换轮换
123(,,)
n n n n 方向梯度
n ∇
作用于矢量a
为
{
{
{
332121111213122131313332221223212332311233112233313231132323()()()()()()a h a h h h
n a e n a n n n n h h h h a a h h h h
e n a n n n n h h h h h h a h a h e n a n n n n h h h h ξξξξξξξξξξξξ⎫∂∂∂∂∇=∇+---⎬∂∂∂∂⎭
⎫∂∂∂∂+∇+-+-⎬∂∂∂∂⎭⎫
∂∂∂∂+∇+
-+-⎬∂∂∂∂⎭