微积分(高阶线性微分方程.

定理 设y 是二阶非齐次线性微分方程
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
(2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么y Y y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的
通解. 为了求 非齐次 线性方程的通解, 只要求得: 非齐次线性方程的一个特解和对应齐次线性方程 的通解.
解
y y 0 的通解是 Y C1 cos x C2 sin x
再考虑两个方程
y y x, y y e x
对于y y x,
原方程通解为
* 其特解为y1 x, 1 x x * 对于y y e , 其特解为y2 e , 2 1 x * * * y y1 y2 x e 是原方程的特解 . 2
P ( x ) dx Q( x )e dx
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
对应齐次方 程通解Y 注
非齐次方程特解
y

一阶线性方程解的结构及解非齐次方程
的常数变易法对高阶线性方程也适用.
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1、二阶线性微分方程 形如
d y dy Q( x ) y f ( x ) 2 P( x) dx dx
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
定理 如果函数 y1 ( x )与 y2 ( x )是方程(1)的两个 线性无关 的特解, 那末 y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x )
也是(1)的 通解. 为了求齐次线性方程的通解, 只要求它的两个线性无关的特解.
为了得到实数形式的线性无关解, 利用解的叠 加原理 1 y1 2 ( y1 y2 ) e x cos x y2
y2
1 2i
( y1 y2 ) e x sin x
y1
常数
得齐次方程的通解为
y ex (C1 cos x C 2 sin x )
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综上，
2
二阶线性微分方程 二阶线性齐次微分方程. 当 f ( x ) 0时，
当 f ( x ) 0时， 二阶线性非齐次微分方程.
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n阶线性微分方程的一般形式为
y
( n)
P1 ( x ) y
( n 1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x )
其中p1 ( x), p2 ( x),, pn ( x)为线性微分方程的系数 ,
( r pr q )e 0
2 rx
e rx 0,
特征方程
故有
r 2 pr q 0
p
2
特征根 r1, 2
p 4q 2
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特征根r的不同情况决定了方程 y py qy 0 的通解的不同形式.
设解y e rx
r 2 pr q 0
是非齐次方程的通解. 定理 如果 y1 , y2 是非齐次方程(2)的两个解，
则y1 y2 是对应齐次方程(1)的解.
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y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) )
(2)
定理 设非齐次方程 (2)的右端 f ( x)是几个函数
之和, 如y P( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f 2 ( x )
f ( x)为线性微分方程的自由 项.
n阶线性齐次微分方程. 当 f ( x ) 0时，
当 f ( x ) 0时， n阶线性非齐次微分方程.
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2、线性微分方程的解的结构 (1)二阶齐次方程解的结构 齐次
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
定理 如果函数y1 ( x )与y2 ( x )是方程(1)的两个解, 那末y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x)也是(1)的 解, (C1 , C2是常数). 叠 证 [C1 y1 C2 y 加 2 ] P ( x )[C1 y1 C 2 y2 ] 原 Q( x )[C1 y1 C2 y2 ] 理 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ] C2[ y C1[ y1 2 P ( x ) y2 Q( x ) y2 ] 0 0 0
1， cos x, sin x ( x (,)) 线性相关
2 2
取k 1 x 2, xk2 k3 1, 有恒等式 1 e， e , e ( x2 (,2 )) 线性无关 1 cos x sin x 0
x
7
y1 ( x ) 特别地 若在I上有 常数, y2 ( x ) 则函数y1 ( x)与y2 ( x )在I上 线性无关.
如
y2 且 tan x y1
y y 0, y1 cos x, y2 sinx,
常数, 通解 y C1 cos x C2 sin x.
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可推广到n阶齐次线性方程.
推论 如果函数y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x)是n 阶齐次 线性方程
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y 0
先求（1）的两个线性无关的解
2
y1, y2
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再求（2）的一个特解 y*
则方程的通解为 y C1 y1 C2 y2 y *
二、常系数齐次线性方程解法
基本思路
求解常系数线性齐次微分方程
转化
求特征方程(代数方程)之根
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1. 定义
( n) ( n 1 ) y P y Pn1 y Pn y f ( x ) 形如 1
x 2x
y(0) 1 , y(0) 3 的特解 . 解 y2 y1与y3 y1 是对应齐次方程的解, 且
y2 y1 e x x 2x 常数 y3 y1 e x 因而线性无关, 故原方程通解为 x 2x y C1 (e x ) C 2 (e x ) x
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如 方程 y y x 2 是二阶非齐次线性方程 已知 Y C1 cos x C2 sin x 是对应齐次方程
y y 0 的通解. 又容易验证
y x 2 2 是所给方程的一个特解.
y Y y
C1 cos x C2 sinx x 2 2
(2)有两个相等的实根 ( 0)
p r1 r2 , 2
设解y e
r1 x
rx
一特解为 y1
e ,
r1 x u ( x ) y 设 2 e , 其中u( x)为待定函数.
y2 常数 y1
化简得 将 y2 ，y 2 ，y2 代入到 y py qy 0.
1 x x y Y y C1 cos x C2 sin x e . 2
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例 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )的解, C1 , C 2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
( B) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ;
n阶 常系数 线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数 齐次 线性 方程
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
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2. 二阶常系数线性齐次微分方程解法 ---特征方程法
y py qy 0
二阶 常系数 齐次 线性方程
设解 y e rx 其中r为待定常数. 将其代入方程, 得
y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x ) 一定是通解
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定义 设y1 , y2 ,, yn 为定义在区间I内的n个函数.
如果存在n个不全为零的常数, 使得当x在该区间内 恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0
那末称这n个函数在区间I内 线性相关. 否则称 线性无关. 如
(3)有一对共轭复根 ( 0) r1 i , r2 i , 这时原方程有两个复数解
( i ) x
x
设解y e
rx
e (cos x i sin x ) y1 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e
代入初始条件 y(0) 1 , y(0) 3, 得 C1 1 , C2 2 , 故所求特解为
y 2e 2 x e x .
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定理
如果y y1 ( x) iy2 ( x )是方程
y P( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) if 2 ( x )
第四节 高阶线性微分方程
一、高阶线性微分方程 二、常系数齐次线性微分方程 三、二阶常系数非齐次线性 微分方程
1
一、高阶线性微分方程
1、二阶线性微分方程
2、线性微分方程的解的结构
2
复习
一阶线性方程
通解为 y e
P ( x )dx
y P ( x ) y Q ( x )
[Baidu Nhomakorabea

P ( x )dx Q( x )e dx C ]
r1 p
特征方程
(1)有两个不相等的实根 ( 0)
p 2 4q p p 2 4q , r2 , 2 2
r1 x
r2 x
两个 线性无关的 特解
y1 e , y2 e ,
得齐次方程的通解为
y1 常数 y2
r1 x
r2 x C 2e
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y C 1 e
的解.
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解二阶线性齐次微分方程 2 d y dy P( x) Q( x ) y 0 (1) 2 dx dx 只要求两个线性无关的解
y1, y2
则方程的通解为 y C1 y1 C2 y2 解二阶线性非齐次微分方程
d y dy P ( x ) Q ( x ) y f ( x ) ( 2) 2 dx dx
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0, 0 0 r1 x 知 u 0, 取 u( x ) x , 则 y2 xe ,
得齐次方程的通解为 y C1e
r1 x
C 2xe
r1 x
y (C1 C 2 x )e r1 x
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的解(复值解)， 其中 P( x ),Q( x ), f1 ( x ), f 2 ( x ),
y1 ( x ), y2 ( x ) 是实值函数，则y1 ( x )和y2 ( x )
分别是方程
y P( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) y P( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
y p y q y 0 ( p, q为常数)
而y1 与y2 分别是 y P( x ) y Q( x ) y f1 ( x )
y P( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
的特解, 那么 y y 就是原方程的特解. 解的叠加原理 定理也可推广到n 阶非齐次线性方程.
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1
2
x y y x e 例 求解
(89考研)
(C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示
y1 y3 , y2 y3 是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (解的叠加原理可证)
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已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )有三 个解 y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
的n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为
y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x ) C n yn ( x ),
其中 C1 , C 2 ,C n为任意常数.
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y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
非齐次 (2)二阶非齐次线性方程的解的结构