分段函数的几种常见题型及解法

函数的概念和性质

考点 分段函数

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 , 有不同的对应法则的函数 , 它 是一个函数 , 却又常常被学生误认为是几个函数 ; 它的定义域是各段函数定义域的并集 , 其值域也是各段函数值域的并集 . 由于它在理解和掌握函数的定义、 函数的性质等知识的程 度的考察上有较好的作用 , 时常在高考试题中“闪亮”登场 , 本文就几种具体的题型做了 一些思考 , 解析如下：

1．求分段函数的定义域和值域

2x 2 x [ 1,0];

3 x [2, );

2．求分段函数的函数值

|x 1| 2,(|x| 1) 例 2．已知函数

1

求 f[f

2 , (|x| 1x

1)

2

例 1．求函数 f(x) 1

2 x x (0, 2); 的定义域、值域

3．求分段函数的最值

4x 3 (x 0)

例 3．求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 .

x 5 (x 1)

4．求分段函数的解析式

例 4．在同一平面直角坐标系中 , 函数y f(x) 和y g(x) 的图象关于直线y x对称, 现将y g ( x)的图象沿x轴向左平移 2个单位, 再沿y轴向上平移 1

个单位, 所得的

则函数 f (x) 的表达式为( )

2x 2 (1 x 0

)

A. f(x)

2

x

2

(0 x 2)

2x 2 (1 x 0

) B. f(x)

2

x

2 (0 x 2)

2x 2 (1 x 2)

C. f (x) x

2 1 (2 x 4)

f (x) 2x 6 (1 x

2)

D.

x 2

3 (2 x 4)

图象是由两条线段组成的折线(如图所示)

5．作分段函数的图像 例 5．函数 y e

|ln x|

|x 1| 的图像大致是( )

6．求分段函数得反函数

的反函数为 y g(x), 求 g (x)的表达式 .

7．判断分段函数的奇偶性

x 2

(x 1) (x 0)

例 7．判断函数 f(x) 2 的奇偶性

x 2

(x 1)(x 0)

例 6 已知 y f(x) 是定义在 R 上的奇函数 且当 x 0时, f(x) 3x

1, 设 f (x)

D

8．判断分段函数的单调性

9．解分段函数的方程

10．解分段函数的不等式

2

1 (x 0)

例 11．设函f(x)

1

, 若 f (x 0) 1, 则 x 0 得取值范围是( )

x

2

(x 0)

A.( 1,1)

B.( 1, )

C. ( , 2) (0, )

D. ( , 1) (1, )

(x 1)2 (x 1)

例 12．设函f (x)

则使得 f (x) 1的自变量 x 的取值

4 x1 (x 1)

)

A ． ( , 2] [0,10]

B. ( , 2] [0,1]

例 8．判断函数 f(x) 3

x x(x 2

0)

的单调

性 . 0)

例 9．写出函数 f(x) |1

2x| |2 x |的单调减区间 例 10．设函数 f(x)

2 x

x ( ,1] log 81 x x (1, ) 则满足方程 f(x) 1

的 x 的值为

A 件产品用时 15 分钟，

那么 c 和 A 的值分别是 ( )

A ． 75,25

B ．75,16

C ．60,25

D ．60,16

6．( 2012江苏， 5 分) 设 f (x )是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 ［－1,1］上， f (x )＝

ax ＋1，－ 1≤x < 0， 13

bx ＋2

， 0 ≤x ≤

1 ， x ＋1

其中 a ， b ∈ R.若 f (2)＝f (2)，则 a ＋ 3b 的值为 ．

1．( 2013新课标全国Ⅰ， 值范围是 ( ) A ．(－∞，

0］

C ．［－

反馈练习

5 分)已知函数 f (x )＝ － x 2

＋ 2x ， x ≤ 0，

若 | f (x )| ≥ax ，则 a 的取 ln x ＋ 1 ， x > 0. B.(－∞， 1] D ．[－2,0]

2x 3

，x <0，

2．( 2013福建， 4分)已知函数 f (x )＝ π －tan x ， 0≤x < 2，

则ff 4

log 1 x ， x ≥ 1，

3．( 2013北京， 5分)函数 f (x )＝ __________________________ 2

的值域为

x 2＋ 1， x ≤ 1，

4．( 2012江西， 5分)若函数 f (x )＝ 则 f (f (10))＝(

)

A ．lg 101

B C ．1 D 5．( 2011北京， 5 分)根据统计，一名工人组装第

2 0

x 件某产品所用的时间 (单位：分钟 )为

f (x )＝

c

A

，x ≥A

(A ， c 为常数 )．已知工人组装第 4件产品用时 30分钟，组装第