分段函数的几种常见题型及解法
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函数的概念和性质
考点 分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 , 有不同的对应法则的函数 , 它 是一个函数 , 却又常常被学生误认为是几个函数 ; 它的定义域是各段函数定义域的并集 , 其值域也是各段函数值域的并集 . 由于它在理解和掌握函数的定义、 函数的性质等知识的程 度的考察上有较好的作用 , 时常在高考试题中“闪亮”登场 , 本文就几种具体的题型做了 一些思考 , 解析如下:
1.求分段函数的定义域和值域
2x 2 x [ 1,0];
3 x [2, );
2.求分段函数的函数值
|x 1| 2,(|x| 1) 例 2.已知函数
1
求 f[f
2 , (|x| 1x
1)
2
例 1.求函数 f(x) 1
2 x x (0, 2); 的定义域、值域
3.求分段函数的最值
4x 3 (x 0)
例 3.求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 .
x 5 (x 1)
4.求分段函数的解析式
例 4.在同一平面直角坐标系中 , 函数y f(x) 和y g(x) 的图象关于直线y x对称, 现将y g ( x)的图象沿x轴向左平移 2个单位, 再沿y轴向上平移 1
个单位, 所得的
则函数 f (x) 的表达式为( )
2x 2 (1 x 0
)
A. f(x)
2
x
2
(0 x 2)
2x 2 (1 x 0
) B. f(x)
2
x
2 (0 x 2)
2x 2 (1 x 2)
C. f (x) x
2 1 (2 x 4)
f (x) 2x 6 (1 x
2)
D.
x 2
3 (2 x 4)
图象是由两条线段组成的折线(如图所示)
5.作分段函数的图像 例 5.函数 y e
|ln x|
|x 1| 的图像大致是( )
6.求分段函数得反函数
的反函数为 y g(x), 求 g (x)的表达式 .
7.判断分段函数的奇偶性
x 2
(x 1) (x 0)
例 7.判断函数 f(x) 2 的奇偶性
x 2
(x 1)(x 0)
例 6 已知 y f(x) 是定义在 R 上的奇函数 且当 x 0时, f(x) 3x
1, 设 f (x)
D
8.判断分段函数的单调性
9.解分段函数的方程
10.解分段函数的不等式
2
1 (x 0)
例 11.设函f(x)
1
, 若 f (x 0) 1, 则 x 0 得取值范围是( )
x
2
(x 0)
A.( 1,1)
B.( 1, )
C. ( , 2) (0, )
D. ( , 1) (1, )
(x 1)2 (x 1)
例 12.设函f (x)
则使得 f (x) 1的自变量 x 的取值
4 x1 (x 1)
)
A . ( , 2] [0,10]
B. ( , 2] [0,1]
例 8.判断函数 f(x) 3
x x(x 2
0)
的单调
性 . 0)
例 9.写出函数 f(x) |1
2x| |2 x |的单调减区间 例 10.设函数 f(x)
2 x
x ( ,1] log 81 x x (1, ) 则满足方程 f(x) 1
的 x 的值为
A 件产品用时 15 分钟,
那么 c 和 A 的值分别是 ( )
A . 75,25
B .75,16
C .60,25
D .60,16
6.( 2012江苏, 5 分) 设 f (x )是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [-1,1]上, f (x )=
ax +1,- 1≤x < 0, 13
bx +2
, 0 ≤x ≤
1 , x +1
其中 a , b ∈ R.若 f (2)=f (2),则 a + 3b 的值为 .
1.( 2013新课标全国Ⅰ, 值范围是 ( ) A .(-∞,
0]
C .[-
反馈练习
5 分)已知函数 f (x )= - x 2
+ 2x , x ≤ 0,
若 | f (x )| ≥ax ,则 a 的取 ln x + 1 , x > 0. B.(-∞, 1] D .[-2,0]
2x 3
,x <0,
2.( 2013福建, 4分)已知函数 f (x )= π -tan x , 0≤x < 2,
则ff 4
log 1 x , x ≥ 1,
3.( 2013北京, 5分)函数 f (x )= __________________________ 2
的值域为
x 2+ 1, x ≤ 1,
4.( 2012江西, 5分)若函数 f (x )= 则 f (f (10))=(
)
A .lg 101
B C .1 D 5.( 2011北京, 5 分)根据统计,一名工人组装第
2 0
x 件某产品所用的时间 (单位:分钟 )为
f (x )=
c
A
,x ≥A
(A , c 为常数 ).已知工人组装第 4件产品用时 30分钟,组装第