第五章 函数
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第五章函数
1. 给定集合X={1,2,3} Y={a,b} 问可构成多少个从X到Y函数?请画出这些函数的有向图。
2. X,Y 是有限集合,|X|=m,|Y|=n.则|X×Y|=( );可以构成()个从X到Y的不同的关系;其中有( )个是从X到Y的函数;在()条件下有从X到Y的入射的函数,可构成从X到Y的入射的函数有()个。
3. X,Y 是有限集合,|X|=n,|Y|=m。可以构成()个从X到Y的不同的关系;其中有( )个是从X到Y的函数;若可构成从X到Y的入射的函数,则可构成从X 到Y的入射的函数有()个。若可构成从X到Y的双射的函数,则可构成从X 到Y的双射的函数有()个。
4.设.X、Y 是有限集合,|X|=4,|Y|=6,可以构成( )个从X到Y的不同的关系;其中有( )个是从X到Y的函数;其中有( )个是从X到Y的常值函数;有( )个是从X到Y的入射函数;有( )个是从X到Y的满射函数。
5. R是实数集合,给定R上的关系如下:
f={
h={
u={
上述关系中,哪些不是从R到R的函数,为什么?如果是函数,请指出它是什么类型的(即满射、入射、映内以及双射的)。
6. R是实数集合,给定R上的关系如下:
f={
h={
u={
上述关系中,哪些不是从R到R的函数,为什么?如果是函数,请指出它是什么类型的(即满射、入射、映内以及双射的)。
7. R是实数集合,给定R上的五个关系如下:
R1={
R3={
R5={
上述五个关系中,哪些不是从R到R的函数,为什么?如果是函数,则是从R到R的入射函数的分别是();是从R到R的双射函数的分别是()。
8. 令f:A→B, C⊆A, 证明f(A)-f(C)⊆f(A-C)
9. 已知R是A上的二元关系,任何a∈A,定义集合R(a)如下:
R(a)={x|x∈A,∈R}
如果R是从A到A的函数,分别说明如何用R(a)定义R是满射的、入射的。10. 设f:A→B是满射的函数,由f确定A上关系E,定义如下:
任取a1,a2∈A, a1Ea2当且仅当f(a1)=f(a2)
1.证明E是A上等价关系。
2.定义从商集A/E到B的关系g, 定义如下:
任取[a]∈A/E, b∈B, <[a],b>∈g 当且仅当f(a)=b
首先证明g从商集A/E到B的函数,再证明g是双射函数。
11. 给定函数f:A→B g:C→D ,已知
f⊆g 并且ran g⊆ran f , 其中ran g 是函数g的值域
求证:如果g是入射的,则A=C。
12. 设f和g是函数,f⊆g,且dom g⊆dom f, 证明f=g。
13.设f:A→B是函数,定义函数G:B→P(A), 对于b∈B,
G(b)={x| x∈A, f(x)=b}
试证明,如果f是满射的,则G是入射的。
14. f:X→Y, g:Y→Z
X={1,2,3} Y={1,2,3,4,} Z={1,2,3,4,5,}
f= {<1,2>,<2,4>,<3,1>}
g={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> }
求复合函数gο f
15. 令f和g都是实数集合R上的函数,如下:
f={
g={
分别求gο f 、fοg 、fοf 、gοg
16. f:X→Y, g:Y→Z是两个函数, 则
⑴如果f和g是满射的,则gο f 也是满射的;
⑵如果f和g是入射的,则gοf 也是入射的;
⑶如果f和g是双射的,则gοf 也是双射的。
17. 设fοg 是复合函数,证明如果fοg 是双射,则f是满射,而g是入射的。
18. 设f是从A到B的函数,g是从B到A的函数,且g f=I A,则f是()射的,而g是()射的。
19. 如果f g是双射函数, 则f是()射的,而g是()射的。
20. 选择填空。令f:X→Y, g:Y→X是两个函数,如果gοf= I X ,则( )。
A:f是满射,g是入射。
B:f是双射,g是双射,
C:f是入射,g是满射。
D:f是入射,g是入射。
21. 令f:X→Y, g:Y→X是两个函数, 如果gοf= I X且fοg = I Y ,则g= f-1。
22. 填空:A是可数集合,则A⊕A的基数是()。
1.答案:可构成8个从X到Y函数。分别是f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8,它们的有向图如下:
2.答案:X,Y 是有限集合,|X|=m,|Y|=n.则|X×Y|=(mn);可以构成(2mn)个从X 到Y的不同的关系;其中有(n m)个是从X到Y的函数;在(m≤n )条件下有从X到Y的入射的函数,可构成从X到Y的入射的函数有(n(n-1)(n-2)…(n-m+1) )个。
3.答案:X,Y 是有限集合,|X|=n,|Y|=m。可以构成(2mn)个从X到Y的不同的关系;其中有( m n )个是从X到Y的函数;若可构成从X到Y的入射的函数,则可构成从X到Y的入射的函数有(m(m-1)(m-2)…(m-n+1) )个。若可构成从X 到Y的双射的函数,则可构成从X到Y的双射的函数有(m!或n! )个。
4.答案:设.X、Y 是有限集合,|X|=4,|Y|=6,可以构成(224)个从X到Y的不同的关系;其中有(64 )个是从X到Y的函数;其中有(6 )个是从X到Y的常值函数;有(360或P64 )个是从X到Y的入射函数;有( 0 )个是从X到Y的满射函数。
5.答案:f,g,h不是从R到R的函数。
f:当x=nπ/2 (n是整数) 时,没有相应的y对应,所以它不是从R到R的函数。
g:当x≤0时,没有相应的y对应,所以它不是从R到R的函数。
h:当x=0时,没有相应的y对应,所以它不是从R到R的函数。
r:是映内的函数。
u:是双射的函数。