四边形证明题及综合题

四边形证明题及综合题

1、已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，∠BAE =∠DAF ． （1）求证：BE = DF ；

（2）联结AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，联结EM 、FM ．

求证：四边形AEMF 是菱形．

2、如图8，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥， E 、G 分别是AB 、CD 的中点，点F 在

边BC 上，且)(21

BC AD BF +=． （1）求证：四边形AEFG 是平行四边形； （2）联结AF ,若AG 平分FAD ∠，

求证：四边形AEFG 是矩形．

3、如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =AB =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE=CF ，AF 、BE 交于点P 。

（1）求证：AF=BE ；

（2）请猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论。

4、如图，在矩形ABCD 中，BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，M 、N 是垂足.

（1）求证：AN =CM ；

（2）如果AN =MN =2，求矩形ABCD 的面积.

A D

B

E

F O C

M

第1题图

B E

A D G

C F

（第2题图）

5.如图.在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点E 为线段BC 延长线上的一点，

且BC CE 2

1

=

.过点E 作EF ∥CA ，交CD 于点F ，联结OF . （1）求证：OF ∥BC ；

（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状，

并给出证明.

6、如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD

的中点，DE 与CF 相交于G ，DE 、CB 的延长线相交于点H ，点M 是CG 的中点． 求证：（1）BM//GH ；

（2）BM ⊥CF ．

7．已知：如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，交AE 于点D ，联结CD .求证：四边形ABCD 是菱形．

8．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，DE 与CF 相交于G ，

DE 、CB 的延长线相交于点H ，点M 是CG 的中点.

求证：（1）//BM GH (2)BM CF ⊥

A B

（图5）

D

C

O

E

F

（第6题）

F

O E

D

C B

A

第21题图

9．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，点E 、F 在边BC 上，BE =CF ，

EF =AD ．

求证：四边形AEFD 是矩形．

10．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG //DB 交CB 的延长线于点G ．

（1）求证：DE ∥BF ；

（2）若∠G ＝90 ，求证：四边形DEBF 是菱形．

11．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =2AD ，AC ⊥AB ，点E 是AC 的中点，DE

的延长线与边BC 相交于点F ．

求证：四边形AFCD 是菱形．

12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）

已知：如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E 、F 在边BC 上，DE // AB ，A F // CD ，且四边形AEFD 是平行四边形．

（1）试判断线段AD 与BC 的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）现有三个论断：①AD = AB ；②∠B +∠C = 90°；③∠B = 2∠C ．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD 是菱形．

A E F C D （第9题） A

B

D G

E

F （第11题图）

A

B

F

C

D E A

B

D

C

E

F

（第12题图）

（第27题图）

P

N

M D

C

B

A

13．已知：如图，矩形纸片ABCD 的边AD =3，CD =2，点P 是边CD 上的一个动点（不与点C 重合，把这张矩形纸片折叠，使点B 落在点P 的位置上，折痕交边AD 与点M ，折痕交边BC 于点N .

（1）写出图中的全等三角形. 设CP =x ，AM =y ，写出y 与x 的函数关系式；

（2）试判断∠BMP 是否可能等于90°. 如果可能，请求出此时CP 的长；如果不可能，请说明理由.

14、已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合）， 过点P 作 PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F . （1）当点E 落在线段CD 上时（如图10），

① 求证：PB=PE ；

② 在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值， 若变化，试说明理由；

（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断

上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；

（3）在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能，试求出AP 的长，如果

不能，试说明理由．

D C

B

A

E P 。

F

（图1）

D

C

A （备用图）