高等数学 重积分

作平面 x x0
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z z yHale Waihona Puke Baidu ( x ) y 22( x)
y y
2 ( x0 )
zz xx ,, yy )) f f( (
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A (( xx A 0) 0)
1 ( x0 )
o o
a a
x x00
xx x) b b yy 1( 1 ( x)
D
dd
D
4.求由曲面所围立体的体积
用二重积分：V f ( x , y )dxdy
D
5.用二重积分求曲面的面积 A
A
Dxy
z 2 z 2 1 ( ) ( ) dxdy x y x 2 x 2 1 ( ) ( ) dydz y z
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(2).若积分域为 Y 型域 :
c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ).
f ( x , y )dxdy dy ( y) c D
d
1
y
d
y
x 1 y
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c
o
D
x 2 y
x
2( y)
②二重积分的计算关键是定限： 投影穿线法
DX : a x b,1 ( x ) y 2 ( x ).
y
y 2 ( x)
D
y 1 ( x )
D
b 2 ( x) f ( x , y )d dx f ( x , y ) dy 1 ( x ) a

o a
x
2
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2 计算 y x d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1. 【例5】 D
【解】先去掉绝对值符号，如图

D
y x 2 d
D3
2

D1 D2
1
( x
0
2
y )d ( y x )d
b
x
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(2)［Y－型域］ c y d ,
1 ( y ) x 2 ( y ).
d
d
x 1( y)
D
x 2 ( y)
x 1( y)
D
c
c
x 2 ( y)
【Y—型区域的特点】穿过区域内部且平行于x
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
则
a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ).
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，以曲面 z D
f ( x , y ) 为曲顶的柱体体积．
【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
x0 [a , b]
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［法1］ 视为X—型域 则必须分割 D D1 D2 0 x 1 D1 : x y x 1 x 4 D2 : x 2 y x
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xyd D D
dx
D2
0
1
x
2
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【例2】
计算 y 1 x y d , D : 由y x , x 1,
2 2 D
和y 1所围闭区域 .
y
1 D y=x x o 1
【解】 D既是X—型域又是—Y型域
1 x 1 ［法1］ DX : x y 1
f ( x , y )dy. 公式1
上式称为先对 y后对x的二次积分
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【几点小结】 f ( x , y )dxdy [
D a
b
2 ( x )
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1 ( x )
f ( x , y )dy]dx
①通过体积作为过渡,实现了二重积分的一种计算方法
通过计算两次定积分(单积分)来求解.
f ( x , y )dx
公式2 即化二重积分为先对 x后对y的二次积分.
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(3)［既非X－型域也非Y－型域］ 如图 , 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域) 由二重积分积分区域的可加性得
D1
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D3
D2
D
.
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b. 确定积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . c. 写出积分限 列不等式法 (投影穿线) 充分利用对称性 d. 计算要简便 应用换元公式
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2.改变累次积分的积分次序
题目要求改变积分次序或按原积分次序 积不出来，必须改变积分次序.
3.求平面图形D 的面积 dxdy
x 1
sin y 2dy sin y 2dx
若直接计算，积 分比较困难！ （注意被积函数）
dy
0 2 0
2
y 1
1
y sin y 2dy
1 (1 cos 4). 2
作业 P152;同济p154
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（四）、利用极坐标系计算二重积分 1.极坐标系下二重积分表达式
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D
xz
y 2 y 2 1 ( ) ( ) dxdz A x z
D
yz
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估计重积分的值 6.重积分性质的应用题 比较重积分的大小 重积分中值定理的应用 （二）、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 利用对称性 4.被积函数为1时巧用其几何意义 分块积分法
注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
注意两种积分次序的计算效果！
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【例3】
计算 xyd , 其中D：由y 2 x及
D
y x 2所围闭区域
【解】 D是Y—型域 也可以视X—型域 先求交点
y2 x 由 (1,-1)和 (4,2) y x2
首先分割区域 D 用
D
常数（一系列同心圆） o
常数（一系列过极点的 射线）
两组曲线将 D 分割成许多小区域
A
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i i
i i
i
D
d d d d
i
i
o
A
将典型小区域近似看作矩形（面积=长×宽）
D1 D2 D3
2.【二重积分的计算步骤可归结为】 ①画出积分域的图形，标出边界线方程；
②根据积分域特征，确定积分次序；
③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算.
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【说明】
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(1) 使用公式1必须是X－型域，公式2必须是Y－型域. (2)若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
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x2 1 【例4】计算 2 d . 其中 D 由 y x , y , x 2 x y D 围成．
1 【解】 X-型 D : y x , 1 x 2. x

D
2 2 x x x2 d dx 1 2 dy 2 1 y x y
D
2 x2 x 9 3 ( ) 1 dx ( x x )dx . 1 1 y x 4
则有
d x ( x ) f ( x , y ) d y
b
D
f ( x, y) d x d y
2 ( x )
1
y 2 ( x) d x 2 ( y) x 1 ( y)
y
d y
c
a d
2 ( y)
1( y)
f ( x, y) d x
y y 1 ( x) c x o a bx
a
b
D
y 1 ( x )
a
b
2 ( x )在区间 [a , b] 上连续. 其中函数 1 ( x ) 、
【X—型区域的特点】 穿过区域内部且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
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若积分区域为X－型域：
且设f ( x , y ) 0
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第八章
习题课
重积分
一、关于二重积分计算
二、关于三重积分在直角坐标系下计算
三、关于二重积分的应用
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一、关于二重积分计算
（一）、重积分常见题目类型 —— 累次积分 1.一般重积分的计算： 法
a. 选择坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
1 ( x0 )
b
2 ( x0 )
fx (,xy ,dy y )dy A( x 0 ) ) ( x )f ( 0)
1 (1x ) 0
(2x () x0 ) 2
V A( x )dx
a
即得
f ( x, y )d dx
D a
b
2 ( x )
1 ( x )
x
xydy dx
1
4
x
x2
xydy
（计算较繁） 1 y 2 本题进一步说明两种积分 ［法2］ DY : 2 y x y 2 次序的不同计算效果！

1
xyd dy
D 1
2
y 2
y2
5 xydx 5 8
（计算简单）
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则 面积元素
d d d
扇形 弧长 径向 宽度
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x cos 再作代换 y sin
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可得下式 则
f ( x , y )dxdy f ( cos , sin ) dd . D D
dxdy D 的面积 D
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(三)、利用直角坐标系计算二重积分 1. 【预备知识及二重积分公式推导】
(1)［X－型域］ a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ).
y 2 ( x )
y 2 ( x )
D
y 1 ( x )
y
D1 D2 D3
D
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序. (3) 若积分域较复杂, 可将它分成若干 X-型域或Y-型域.
D

D1 D2 D3
o
x
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3、 【利用直角坐标系计算二重积分题类】
【例1】
计算 xyd , 其中D：由y 1, x 2及
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［法2］ 看作Y－型域
2
y
y
1 y 2 DY : y x 2
x=y
D
x=2
1
o
2 2 2
1
2
2
x
x 2 xyd dy xydx [ y ] y dy 1 y 1 2 D
y3 1 ( 2 y )dy 1 1 2 8
D3
2 1 1 2
D1
D2
dx
1
x2
11 ( x y )dy dx 2 ( y x )dy . 1 x 15
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【例6】 计算 dx
1
3
2
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x 1
sin y 2dy .
【分析】交换积分次序
【解】
1
3
dx
2
D
y x所围闭区域 .
y
y=x
D
【解】 D既是X—型域又是—Y型域 ［法1］
1 x 2 看作X－型域 DX : o 1 y x
2 x 2
y=1 1 x 2
x
y2 x xyd dx xydy [ x ]1 dx 1 1 1 2 D 3 2 x x 1 ( )dx 1 1 2 2 8
二重积分极坐标表达式
【注意】极坐标系下的面积元素为
d d d
直角坐标系下的面积元素为
区别
d dxdy
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2.二重积分化为二次积分的公式
（1）极点O 在区域 D 的边界曲线之外时 区域特征如图
1 1 2 2
－1
x
1 上式 dx y 1 x y dy 1 x 2
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1 y 1 ［法2］ DY : 1 x y
－1 D
y
1 y y=x o －1 1
x
原式 ydy
1
1
y
1
1 x 2 y 2 dx