第四章 差异量

1.计算下列数列的M,S2和S：3，4，5， 5， 6， 7。 1）给每一个数加或减2，然后再计算 M,S2和S。结果会有什么不同吗？ 2）把每一个数乘以或同除以2，计算 M,S2和S。结果会有什么不同吗？
X 5, S 1.29, S 1.67
2
2 : X 7, S 1.29 S 1.67
⑤ 求fd2及其 连加和
d2 fd2 189.0625 189.0625 76.5625 535.9375 14.0625 42.1875 1.5625 17.1875 39.0625 312.5000 126.5625 253.3125 1350.0000 －
∑fd2
（三）加权式
1、基本式
1350 2 S 32 42.1875
26－30
总计
24
200
错误总数 6－10 11－15 16－20 21－25 26－30 总计
学生数量 12 73 52 39 24 200
d d2 2 4 1 1 0 0 -1 1 -2 4 -
fd fd2 24 48 73 73 0 0 -39 39 -48 96 10 256
S
256 10 2 200 5 5.65 200
2
S
X X
2
2
N
N

X
N
2
2
• 求下列数据的M与S 8，10，2，5，8，3，2， 2，19，12 4， 1， 3 ， 4， 8， 8 ， 3，3，4，33
• 试问上述两组分数 的分布是否相同？ 为什么？
计算及结果
• 均数：
X1 X N
8 10 19 12 71 7.1 10 10
• 某研究者得到以下两组成绩：
表2-2 分组 甲组 乙组 两组学生测验得分表 测验成绩（X） ∑X M 54 63 72 74 82 88 99 532 76 67 71 73 76 79 82 84 532 76
试问：
①两组分数的分布是否一样？为什么？ ②哪个均数的代表性更好？为什么？
概述 方差与标准差
F 12 85 137 176 200 -
5 186 176 p93 25 .5 24 27 .58 5 p7 10 .5 14 12 73 27 .58 p93 p7 27 .58 10 .64 16 .94
22.17 13.10 Q 4.535 2
四、计算方法
• 定义式
• 原量数式 • 加权式
（一）定义式
• 方差
S
2
X X d
2
2
N
N
• 标准差 S

X X
N
2

d
N
2
（二）计算式
• 方差
S
2
X X
2
2
N
N
X N
2
• 标准差
X N
X N
① 确定m
② 求均数 904 X 32 28.25 ③ 求d
d m X
④ 求d2
组别 f m fm 40-44 1 42 42 35-39 7 37 259 30-34 3 32 96 25-29 11 27 297 20-24 8 22 176 15-19 2 17 34 ∑ 32 － 904
d X Xt
St
ns d n
2 2
分析过程
组别
甲 乙 丙 丁
n
20 18 16 20 74
M S M-Mt （S2+d2） n(S2+d2)
80 75 70 70 － 8 6.1 7 1.1 8 -3.9 6 -3.9 － － 101.21 50.21 79.21 51.21 – 2024.20 903.78 1267.36 1024.20 5219.54
P937 :
:
包括86%的次数 包括80%的次数
P 9010
四、四分位差
• 定义：四分位数间的差距。
• 符号：Q （Quartile deviation）
Q3 Q1 • 公式： Q3 1 4 4 2
• 200个学生在做德文词
汇多项测验时错误选 择的分布表，求平均 差、百分位差和四分 差。
S
二、公式来源
X X 0
2
X X
d
离差 平方 平方差 （方差）
2
X X 0
X X
N
2
S
三、定义
（一）方差：离差平方的算术平均数。 2 S ; 符号：
V：变异数（Variation） MS：均方（Mean Square deviation） （二）标准差：方差的算术平方根。 符号：S，SD（Standard deviation ） 意义：表示一群数据的平均距离。
• 甲组
乙组 Y
S 197 .43
2
S 197 .43 14 .05
• 求乙组的方差与标准差。
67 71 73 76 79 82 84 532
计算结果
S
2
X X
N
2
乙组 Y 67 71 73 76 79 82 84 532
离差 d -9 -5 -3 0 3 6 8 0
∑f
S
d=m－M
2
2
fd f
2
S
2
d N
S
d=X－M
fd f
2
分析二
① 确定d’
组别 f d’ d’2 fd’2 40-44 1 3 9 9 35-39 7 2 4 28 30-34 3 1 1 3 25-29 11 0 0 0 20-24 8 -1 1 8 15-19 2 -2 4 8 ∑ 32 - 56
2 ② 求离差 d 及 d ① 求总均数 5470 ③ 求S2+d2 Xt 73.9 ④ 代公式 74
计算结果
S
2 t
ns d 5219 .54 70.53 74 n
2 2
St 70.53 8.40 或
20 101 .21 18 50.21 16 79.21 20 51.21 St 20 18 16 20
甲组 离差 X d
d2
484 169 -41 16 4 36 41 144 529 1382
①每一X的离差
一 直 观 分 析
54 63 72 74 82 88 99 532
-22 -13 -4 -2 6 12 23 0
d X X 2 ②离差的平方d
③离差平方和
方 ④d2的均数 差
d
2
1382 197 .43 7 2
X2
4 3 1 3 3 8 2 33 71 7.1 10 10
fX f
• 标准差：
S1
X X
2
2
N
N
2
779 71 10 274 .9 5.24 10 10
1293 71 10 788 .9 S2 8.88 10 10
|d| 9.75 4.75 0.25 5.25 10.25 -
f|d| 117 346.75 13 204.75 246 927.50
3550 X 17.75 200
927 .50 AD 4.64 200
错误总数 6－10 11－15 16－20 21－25 26－30 总计
学生数量 12 73 52 39 24 200
错误总数 6－10 11－15 16－20 21－25
学生数量 12 73 52 39
26－30
总计
24
200
错误总数 6－10 11－15 16－20 21－25 26－30 总计
学生数量 12 73 52 39 24 200
m
8 13 18 23 28 -
fm 96 949 936 897 672 3550
2
2
X N
2
N
2
X N
X N

2
• 例4-4：某班的创造 表4-2 成绩分布表 思维成绩如下表。试 组别 f 问其平均差距为多少？ 40-44 1 35-39 7 30-34 3 25-29 11 20-24 8 15-19 2 ∑ 32
分析一
d2
81 25 9 0 9 36 64 224
224 32 7
S
d
N
2
224 7
32 5.66
理解练习
• 试估计49、51的均数和标准差。
X
S
X 51 49 50
X X
N
N
2
2

51 50 49 50
2
2
2
11 1 2
2
2 : X 3, S 1.29 S 1.67
2
2 : X 10, S 2.58 S 6.67
2
2 : X 2.5, S 0.65 S 0.42
2
第三节 中心动差
• • • •
动差概念 统计动差 中心动差 中心动差的级别
2
计算式推导
X X X 2 XX X
2 2 2
X ຫໍສະໝຸດ Baidu 2
2
X X
2
X
2
X 2
N
2
X X N
2
X N N N 2 X N

2
S
2
X X
N
X
二、平均差
• 定义：离差绝对值之和与总次数的比值。
• 符号：AD（Average Deviation)
• 公式： 定义式： AD
X X
加权式： AD
N f X X
f
三、百分位差
• 定义：百分位数间的差距。
• 符号：Pd（Percentile deviation） • 常用值：
表4-2 成绩分布表 d 组别 f m fm 40-44 1 42 42 13.75 35-39 7 37 259 8.75 30-34 3 32 96 3.75 25-29 11 27 297 -1.25 20-24 8 22 176 -6.25 15-19 2 17 34 -11.25 ∑ 32 － 904 －
70.53 8.40
d 的辨析
d ?
d' ?
m X i
X X m X
X X
t
第二节
• • • •
其它差异量
全距 平均差 百分位差 四分位差
一、全距
• 定义：一群数据的极差。
• 符号：Rg（Range） • 公式：
Rg X max X min
fd ' fd ' f S i f 2 2 fd ' fd ' f S i f
2 2 2 2
2、简捷式
S
2
X
2
X N
2
N
组别 f d’ d’2 fd’2 40-44 1 3 9 9 35-39 7 2 4 28 30-34 3 1 1 3 25-29 11 0 0 0 20-24 8 -1 1 8 15-19 2 -2 4 8 ∑ 32 - 56
② 求d’2 ③ 求fd’2及∑fd’2
56 S 1.75 32
2
×
m A d' i
2
2
组别 f d’ d’2 fd’2 40-44 1 3 9 9 35-39 7 2 4 28 30-34 3 1 1 3 25-29 11 0 0 0 20-24 8 -1 1 8 15-19 2 -2 4 8 ∑ 32 - 56
14 3 2 56 8 32 0 S 5 32 -8 -4 6.50 8
56 8 32 2 5 fd’ S 32 3 42.1875
2 2
• 200个学生在做德文词
汇多项测验时错误选 择的分布表，求其方 差与标准差。
错误总数 6－10 11－15 16－20 21－25
学生数量 12 73 52 39
其它差异量数 中心动差 差异量指标的应用与比较
概述
• 分布特征一——集中趋势 • 分布特征二——离中趋势（离散程度）
• 差异量数： 描述一组数据离中趋势的量数。 • 度量指标：全距、方差、标准差、平均 差、偏态量、峰态量
第一节 方差与标准差
• • • • • 直观分析 公式来源 定义 计算方法 方差与标准差 的组合
• 例4-5：现有四个小组的人数及成绩统 计如下表，试问其总标准差为多少？
表4-3 成绩统计量 组别 n M S 甲 乙 丙 丁 20 18 16 20 74 80 75 70 70 － 8 7 8 6 －
五、方差与标准差的组合
• 总方差和总标准差
S
2 t
ns d n
2 2