反函数(含答案)
反函数 一些结论:()1定义域上的单调函数必有反函数；
()2奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； ()3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数. ()4周期函数在整个定义域内不存在反函数.
（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．
考点一。反函数图象
1.已知函数
的反函数是
，则
的图象是（ ）
解：由题意知则所以的图象可由的图
象向右平移1个单位而得到。故选（C ）。
考点二。求反函数定义域，值域
2.（1）若
为函数
的反函数，则
的值域为_________。 解：利用反函数的值域就是原函数的定义域，立即得
的值域为
。
（2）已知p 为x
e 2y =上一点，Q 为2ln ln y -=x 上一点，求PQ 最小值。
解：由题，两函数互为反函数，当PQ 与y=x 垂直，且P,Q 分别为两曲线切点时，PQ 最小。
2ln ln y -=x ，则1x 1
y ==
'，即x=1,切点为（1，-ln2),故2
2ln 1d +=。由对称性，PQ 最小值=)2ln 12+（。 （3）已知y=a 与y=2(x+1),y=x+lnx 交于A ，B 两点,求AB 最小值。 解：0x
1
1y >+
='，单调递增，y=2(x+1)单增且k=2,画图像得:要使AB 最小，只需B 到y=2(x+1)距离d 最小
又5
5
35
2
12d =
+-=
，故AB min=d 25=23。
考点三。求反函数
3.（1）函数的反函数是（ ）
A. B. C. D.
解：由可得
，故
从
解得
因
所以
即其反
函数是
故选（B ）。 （2）求下列函数的反函数：
（1）()1)f x x =≤-； （2）221(01)
(){(10)
x x f x x x -≤≤=-≤<.
解：（1）由1)y x =
≤-得2
211()(1)24y x x =+-≤-，∴10)2x y +=≥，∴所求函数的反
函数为10)2y x =-
≥．
（2）当01x ≤≤时，得10)x y =-≤≤，当10x -≤<时，得1)x y =<≤，∴所求函数的反函
数为10)
1)x y x -≤≤=<≤??
．
（3）f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，则f(x)反函数为（ ) A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)
解：f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，∴-x=f(-y),即-y=)(f 1
x --,则y=-)(f 1
x --,)()(f 1
x g x -=-∴-,故)(-g (f 1
x x -=-），选D.
考点四。反函数与方程
4.已知函数，则方程的解x=_____________。
解：当函数存在反函数时，若
，则。所以只需求出的值即为中的x
的值。易知
，所以
即为所求的值。
考点五。反函数求参数
5.(1)y=f(x)是x a =y 的反函数，且过点),a 2a （，求a 的值。 解：由题y=f(x)=x a log ，将),a 2a （代入得：a=2. （2）函数11
(,)1ax y x x R ax a
-=
≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a -=
≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+，∴11()(1)(1)
x f x x a x --=≠-+， 由题知：1()()f x f x -=，
11(1)1x ax
a x ax
--=++，∴1a =．
（3）若(2,1)
既在()f x =,m n 的值．
解：∵(2,1)
既在()f x =又在它反函数图象上，∴(1)2(2)1f f =??=?，
∴2
1
=，∴37m n =-??=?．
(4)已知y=f(x)与a
x +=2
y 关于y=-x 对称，且f(-2)+f(-4）=1，求a 的值。
解：设y=f(x)上点M ),x 00y （,关于y=-x 对称点为N ),y -00x -（，代入a x +=2y 中，则a
y +-=02
x -0，即
a y x +-=-002)(log ，)(log y 2x a --=∴=f(x),又f(-2)+f(-4）=a-1+a-2=2a-3=1,故a=2. 考点六。反函数的奇偶性，单调性
6.函数
的反函数是（ ）
A. 奇函数，在（）上是减函数
B. 偶函数，在（）上是减函数
C. 奇函数，在（）上是增函数
D. 偶函数，在（
）上是增函数
解： 函数
与
具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（C ）。
考点七。反函数求值
7.（1）设函数
的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数
，则
___________。
解：由，可知函数的图象过点（4，0）。而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（-2，4）。由题意知点（-2，4）也在函数
的图象上，即有
，所以
。
评注：当函数存在反函数时，若，则。
（2）设函数x
x
x f +-=
121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值． 解：由1(1)y f x -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，∴(2)(2)12g f =-=-．
考点八。反函数与不等式
8.（1）设
是函数
的反函数，则
成立时x 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：由，知函数在R 上为增函数，所以在R 上也为增函数。故由，有而
可得故选（A ）。
（2）设是函数的反函数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
解：依题意知。画出略图，故选（A ）。
幂函数指数函数和对数函数·反函数
幂函数、指数函数和对数函数·反函数 教学目标 1．使学生正确理解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法． 2．培养学生分析问题、解决问题的能力及抽象概括的能力． 3．使学生思维的深刻性进一步完善． 教学重点与难点 教学重点是求反函数的技能训练． 教学难点是反函数概念的理解． 教学过程设计 一、揭示课题 师：今天我们将学习函数中一个重要的概念——反函数． （板书：反函数 1．反函数的概念） 二、讲解新课 师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数y=2x+1中，如果把x当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？ 生：可以构成一个函数． 师：为什么是个函数呢？ 一的x与之相对应． 师：根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数y=2x+1是存在反函数的．这个反函数的解析式是怎样的呢？
师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x 表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以 是不是同一函数呢？ 生：是． 师：能具体解释一下吗？ 和值域，皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数． 生：有．就是y=2x+1． 那么，是不是所有函数都会有反函数呢？ 生：不是所有函数都有反函数． 师：能举个例子说明吗？ 生：如函数y=x2，将y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x，如y=1，则对应x=±1，因此不能构成函数，说明它没有反函数． 师：说得非常好．如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图1，从图中可看出给出一个y能对应两个x．
反函数与零点习题含答案
反函数-习题 1．函数f (x )=1-x ＋2 (x ≥1)的反函数是（ ） A ．y =(x －2)2＋1 (x ∈R) B ．x =(y －2)2＋1 (x ∈R) C ．y =(x －2)2＋1 (x ≥2) D ．y =(x －2)2＋1 (x ≥1) 2.已知函数x x f a log )(=)1,0(≠>a a 且的图象过点（2，-1），函数()y g x =是函数 ()y f x =的反函数，则函数()y g x =的解析式为（ ） A.()2x g x = B.1()()2 x g x = C.12 ()log g x x = D.2()log g x x = 3. 若函数)1(-=x f y 的图像与函数1ln +=x y 的图像关于x y =对称，则)(x f =（ ） A. 1 2-x e B. x e 2 C. 1 2+x e D. 2 2+x e 4. 函数? ??≥<+=0,0,1x e x x y x 的反函数是______________. 5. 函数)2(,2-≥+-=x x y 的反函数是_______________. 6. 若函数)1,0(≠>=a a a y x 的反函数的图象过点（2，-1）,则a =_________. 7. 函数)0)(24(log 2>++=x x y 的反函数是_______________. 8. 已知函数()f x 的反函数为)0(,lg 21)(>+=x x x g ，则(1)(1)f ＋g ＝_____________. 9. 函数1ln(1) (1)2 x y x +-= >的反函数是_______________. 10．若函数()y f x =的反函数．．． 图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点__________. 11. 将x y 2=的图像先向______(填左、右、上、或下)平移_______个单位，再作关于直线 x y =对称的图象可得到函数)1(log 2+=x y 的图像. 12. 已知函数b a y x +=的图象过点（1,4）其反函数图象过点（2,0），则___.___==b a . 13. 已知函数x x x f 3 131)(+-=，则)5 4 (1 -f =____________.
反函数_典型例题精析
2．4 反函数·例题解析 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1) ＝≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝ ≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----22 2 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x
【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．
幂函数 反函数 反比例
〖2.3〗幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． (图象关． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p α= （其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若 p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p y x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数 ,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．
反函数 反函数的基本知识点 一．定义：设式子)(x f y = 表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子)(x f y =中解出x ，得到式子)(y x ?=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子)(y x ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(y x ?=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做)(x f y =的反函数 ，记作)(1y f x -=，即()y f y x 1)(-==?，一般习惯上对调()y f x 1-=中的字母y x ,，把它改写成)(1x f y -=。 （1）．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； （2）．原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域， ()图象在点图象上）在（点几何语言： )(),(,)()(11x f y a b P x f y b a P a b f b a f --='?==?= （3）．()y f x =与1()y f x -=的图象关于y x =对称． 二．求反函数的一般步骤 （1） 确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 （2） 由)(x f y =的解析式求出)(y x ?= （3） 将y x ,对换，得反函数的一般表达式)(1x f y -=，标上反函数的定义 域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得） 分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。 三．掌握下列一些结论
反函数基础练习含答案
反函数基础练习 (一)选择题 1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 [ ] A y (x 0) B y (x 0) C y (x 0) D y |x| ．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x -- 2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ] A ．[0，＋∞) B ．[－∞， 1] C ．(0，1] D ．(－∞，0] 3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2 [ ] A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2) B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2) C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1) D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是 [ ] A y y x B y y 2．＝和＝．＝和＝ x x x 11
C y y (x 1) D y x (x 1)y (x 0) 2．＝ 和＝≠．＝≥和＝≥313131 1x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是 [ ] A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数 B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数 C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数 D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是 y ＝－，那么另一个函数是x -1 [ ] A ．y ＝x 2＋1(x ≤0) B ．y ＝x 2＋1(x ≥1) C ．y ＝x 2－1(x ≤0) D ．y ＝x 2－1(x ≥1) 7．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点 [ ] A ．(a ，f -1(a)) B ．(f -1(b)，b) C ．(f -1(a)，a) D ．(b ， f -1(b))
反函数典型例题精析.doc
学习必备 欢迎下载 2． 4 反函數·例題解析 【例 1】求下列函數的反函數： (1)y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 ) ． 2x 1 2 (2)y ＝ x 2 － 2x ＋ 3， x ∈ ( －∞， 0] ． 1 (3)y ＝ x 2 1 (x ≤ 0) ． x +1 ( －1≤x ≤ 0) (4)y ＝ － x (0＜x ≤1) 解 (1) ∵ y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 )，∴ y ≠ 3 ， 2x 1 2 2 由 y ＝ 3x 5 得 (2y － 3)x ＝－ y － 5， 2x 1 ∴ x ＝ y 5 所求反函数为 y ＝ y 5 (x ≠ 3 )． 3 2y 3 2y 2 解 (2)∵ y ＝(x －1) 2 ＋ 2， x ∈ (－∞， 0]其值域為 y ∈ [2，＋∞ )， 由 y ＝ (x － 1) 2 ＋ 2(x ≤ 0) ，得 x －1＝－ y 2，即 x ＝ 1－ y 2 ∴反函数为 f 1 (x) ＝ 1－ x 2， (x ≥ 2) ． 解 (3)∵y ＝ 1 ，它的值域为 0＜y ≤1， x 2 (x ≤ 0) 1 由 y ＝ 2 1 得 x ＝－ 1 y ， x 1 y ∴反函数为 f 1 (x) ＝－ 1 x (0 ＜x ≤1) ． x 解 (4)由y ＝ x 1(－1≤ x ≤ 0)， 得值域 0≤y ≤1，反函数 f 1 (x) ＝ x 2 －1(0≤x ≤1)． 由 y ＝－ x (0＜x ≤1)， 得值域－ 1≤ y ＜ 0，反函数 f 1 (x) ＝x 2 ( －1≤x ＜ 0)， x 2 －1 (0≤ x ≤ 1) 故所求反函数为 y ＝ 2 ( － ≤ ＜ ． x 1 x 0)