反函数(含答案)

反函数 一些结论:()1定义域上的单调函数必有反函数；

()2奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； ()3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数. ()4周期函数在整个定义域内不存在反函数.

（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．

考点一。反函数图象

1.已知函数

的反函数是

，则

的图象是（ ）

解：由题意知则所以的图象可由的图

象向右平移1个单位而得到。故选（C ）。

考点二。求反函数定义域，值域

2.（1）若

为函数

的反函数，则

的值域为_________。 解：利用反函数的值域就是原函数的定义域，立即得

的值域为

。

（2）已知p 为x

e 2y =上一点，Q 为2ln ln y -=x 上一点，求PQ 最小值。

解：由题，两函数互为反函数，当PQ 与y=x 垂直，且P,Q 分别为两曲线切点时，PQ 最小。

2ln ln y -=x ，则1x 1

y ==

'，即x=1,切点为（1，-ln2),故2

2ln 1d +=。由对称性，PQ 最小值=)2ln 12+（。

（3）已知y=a 与y=2(x+1),y=x+lnx 交于A ，B 两点,求AB 最小值。 解：0x

1

1y >+

='，单调递增，y=2(x+1)单增且k=2,画图像得:要使AB 最小，只需B 到y=2(x+1)距离d 最小

又5

5

35

2

12d =

+-=

，故AB min=d 25=23。 考点三。求反函数

3.（1）函数的反函数是（ ）

A. B. C. D. 解：由可得

，故

从

解得

因

所以

即其反

函数是

故选（B ）。 （2）求下列函数的反函数： （1）2

()(1)f x x x x =

+≤-； （2）22

1(01)(){

(10)

x x f x x x -≤≤=-≤<.

解：（1）由2(1)y x x x =

+≤-得2211()(1)24

y x x =+-≤-，∴211

(0)24x y y +=-+≥，∴所求函数的反

函数为211

(0)24

y x x =-

-+≥． （2）当01x ≤≤时，得1(10)x y y =+-≤≤，当10x -≤<时，得(01)x y y =-<≤，∴所求函数的反函

数为1(10)

(01)x x y x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩

．

（3）f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，则f(x)反函数为（ ) A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)

解：f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，

∴-x=f(-y),即-y=)(f 1x --,则y=-)(f 1x --,)()(f 1

x g x -=-∴-,故)(-g (f 1

x x -=-）

，选D. 考点四。反函数与方程

4.已知函数，则方程的解x=_____________。

解：当函数存在反函数时，若

，则。所以只需求出的值即为中的x

的值。易知

，所以

即为所求的值。

考点五。反函数求参数

5.(1)y=f(x)是x

a =y 的反函数，且过点

),a 2

a （，求a 的值。 解：由题y=f(x)=x a log ，将

),a 2

a （代入得：a=2. （2）函数11

(,)1ax y x x R ax a

-=

≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a

-=

≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+，∴11()(1)(1)x f x x a x --=≠-+，

由题知：1

()()f x f x -=，

11(1)1x ax a x ax

--=++，∴1a =．

（3）若(2,1)既在()f x mx n =

+的图象上，又在它反函数图象上，求,m n 的值．

解：∵(2,1)既在()f x mx n =+的图象上，又在它反函数图象上，∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩，∴2

21

m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，∴37m n =-⎧⎨=⎩．

(4)已知y=f(x)与a

x +=2

y 关于y=-x 对称，且f(-2)+f(-4）=1，求a 的值。

解：设y=f(x)上点M

),x 00y （,关于y=-x 对称点为N ),y -00x -（，代入a x +=2y 中，则a

y +-=02x -0，即

a y x +-=-002)(log ，)(log y 2x a --=∴=f(x),又f(-2)+f(-4）=a-1+a-2=2a-3=1,故a=2.

考点六。反函数的奇偶性，单调性

6.函数

的反函数是（ ）

A. 奇函数，在（）上是减函数

B. 偶函数，在（）上是减函数

C. 奇函数，在（）上是增函数

D. 偶函数，在（

）上是增函数

解： 函数

与

具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（C ）。

考点七。反函数求值

7.（1）设函数

的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数

，则

___________。

解：由，可知函数的图象过点（4，0）。而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（-2，4）。由题意知点（-2，4）也在函数

的图象上，即有

，所以

。

评注：当函数存在反函数时，若，则。