10-3 波的能量能流密度
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第十章 波动
10
10-3 波的能量 能流密度 例题2 一列机械波在t时刻的波形曲线如图所示，则该 时刻能量最大值的介质质元的位置是：
y
o
d
u
e
f
a
O
g
x
c
b
第十章 波动
11
10-3 波的能量 能流密度
能量密度：单位体积介质中的波动能量 dW x 2 2 2 w A sin (t ) dV u
第十章 波动
12
10-3 波的能量 能流密度
二
能流和能流密度
能流：单位时间内垂直通过某一面积的 能量. 用符号P表示。根据定义写成数学式子 为 u
P wuS
平均能流：
P wu S
第十章 波动
udt
S
能流的单位是瓦特，因此波的能流也称为波的功率。
13
10-3 波的能量 能流密度
例3 证明球面波的振幅与离开其波源的 距离成反比，并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过两个球面的平均能 流相等. w1uS1 w2uS2 1 2 2 1 2 2 2 即 A1 u 4π r1 A2 u 4π r22 2 2 s1 r s2 A1 r2 2 故 A2 r1 r1 A0 r0 r y cos (t ) r u
通过垂直于波传播方向的单位面积的平 均能流.
P I wu S 1 2 2 I A u 2
它的单位为
P wuS u
W m
2
udt
S
16
第十章 波动
10-3 波的能量 能流密度 例题5 为了保持波源的振动不变，需要消耗4W的功率 。若波源发出的是球面波（设介质不吸收能量），求 距离波源5.0m和10.0m处的能流密度。
第十章 波动
8
10-3 波的能量 能流密度
x dW dVA sin (t ) u (2) 任一体积元都在不断地接收和放出 能量，即不断地传播能量. 任一体积元的机 械能不守恒. 波动是能量传递的一种方式 .
2 2 2
O
x
dx
O
y
y dy
x x
9
第十章 波动
10-3 波的能量 能流密度
这表明能量密度是随时间t变化的。
平均能量密度：能量密度在一个周期内的 平均值 w 1 T wdt 1 2 A2 0 T 2
上式表明能量密度的在一周期内的平均值是常数。这 说明，体积元不断地从后面的介质中获得能量，又不 断地把能量传给前面的介质。平均说来，介质中无能量 积累。所以说波动是能量的传播。
第十章 波动
17
10-3 波的能量 能流密度
例题6 一平面简谐波，频率为300Hz，波速为340m/s ,在截面积为3.00×10-2m2的管内空气中传播，若在10 秒内通过截面的能量为2.70×10-2J，求：
（1）通过截面的平均能流； （2）波的平均能流密度； （3）波的平均能量密度。
第十章 波动
第十章 波动
2
10-3 波的能量 能流密度
1 1 2 2 dWk dmv dV v 2 2 x y A cos (t ) u y x v A sin (t ) t u 振动动能
1 x 2 2 2 dWk dVA sin (t ) 2 u
y x A sin t x u u
代入体积元势能公式并化简可得：
1 x 2 2 2 dWp dVA sin (t ) 2 u
第十章 波动
6
10-3 波的能量 能流密度 计算表明，体积元的动能和势能相等，即
dWk dWP
体积元的总机械能
再利用纵波速度公式
u E
上式可以化简为：
1 2 dy 2 dWP u dV ( ) 2 dx
考虑到上式中的 dy dx 应是y对x的偏导数，于是有
1 2 y 2 dWP u dV ( ) 2 x
第十章 波动
5
10-3 波的能量 能流密度 而有波函数
x 可得： y A cos t u
x dW dWk dWp dVA sin (t ) u
2 2 2
第十章 波动
7
10-3 波的能量 能流密度
讨 论 (1)在波动传播的介质中，任一体积元的 动能、势能、总机械能均随 x, t 作周期性变 化，且变化是同相位的. 体积元在平衡位置时，动能、势能和总 机械能均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零.
18
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
10-2 平面简谐波的波函数
10-3 波的能量 能流密度
10-4 10-5
10-6 10-7
惠更斯原理 波的衍射和干涉 驻波
多普勒效应 平面电磁波
第十章 波动
19
例题1 一平面简谐机械波在弹性介质中传 播,下述各结论哪个正确？ 选择（ D ） (A)介质质元的振动动能增大时，其弹性势 能减小，总机械能守恒. (B)介质质元的振动动能和弹性势能都作周期 性变化，但两者相位不相同.
(C)介质质元的振动动能和弹性势能的相位在 任一时刻都相同，但两者数值不同.
(D)介质质元在其平衡位置处弹性势能最大.
10-3 波的能量 能流密度
一
ຫໍສະໝຸດ Baidu波动能量的传播
1 波的能量
波的传播是能量的传播，传播过程中， 介质中的质点运动，具有动能 W k，介质形变 具有势能 W p .
第十章 波动
1
10-3 波的能量 能流密度
以棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
x
dx
y
y dy
x x
如上图所示，以距棒的左端为x处有一段长为dx的体积元， 若该棒的密度为ρ，截面积为S，则dV=Sdx. 当波传播到该体积元时，若它的左端发生位移y,则右端 位移为y+dy.这表明该体积元不仅发生运动，还产生了 形变，说明它既有动能也有势能。
第十章 波动
14
10-3 波的能量 能流密度 例题4 一个点波源位于o点，以o点为中心作两个同心 球面，它们的半径分别为R1和R2,在两个球面上分别取 相等的面积∆S1, ∆S2，则通过它们的平均能流之比为：
P1 P2
第十章 波动
15
10-3 波的能量 能流密度
能流密度 ( 波的强度 )I:
第十章 波动
3
10-3 波的能量 能流密度
弹性势能
1 2 dWp k dy 2
SE k dx
上式中k为棒的劲度系数，它与弹性模量E的关系为
O
x
dx
O
y
y dy
第十章 波动
x x
4
10-3 波的能量 能流密度
把k代入到体积元的势能公式中有：
1 1 dy 2 2 dWp k dy ESdx( ) 2 2 dx
10
10-3 波的能量 能流密度 例题2 一列机械波在t时刻的波形曲线如图所示，则该 时刻能量最大值的介质质元的位置是：
y
o
d
u
e
f
a
O
g
x
c
b
第十章 波动
11
10-3 波的能量 能流密度
能量密度：单位体积介质中的波动能量 dW x 2 2 2 w A sin (t ) dV u
第十章 波动
12
10-3 波的能量 能流密度
二
能流和能流密度
能流：单位时间内垂直通过某一面积的 能量. 用符号P表示。根据定义写成数学式子 为 u
P wuS
平均能流：
P wu S
第十章 波动
udt
S
能流的单位是瓦特，因此波的能流也称为波的功率。
13
10-3 波的能量 能流密度
例3 证明球面波的振幅与离开其波源的 距离成反比，并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过两个球面的平均能 流相等. w1uS1 w2uS2 1 2 2 1 2 2 2 即 A1 u 4π r1 A2 u 4π r22 2 2 s1 r s2 A1 r2 2 故 A2 r1 r1 A0 r0 r y cos (t ) r u
通过垂直于波传播方向的单位面积的平 均能流.
P I wu S 1 2 2 I A u 2
它的单位为
P wuS u
W m
2
udt
S
16
第十章 波动
10-3 波的能量 能流密度 例题5 为了保持波源的振动不变，需要消耗4W的功率 。若波源发出的是球面波（设介质不吸收能量），求 距离波源5.0m和10.0m处的能流密度。
第十章 波动
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10-3 波的能量 能流密度
x dW dVA sin (t ) u (2) 任一体积元都在不断地接收和放出 能量，即不断地传播能量. 任一体积元的机 械能不守恒. 波动是能量传递的一种方式 .
2 2 2
O
x
dx
O
y
y dy
x x
9
第十章 波动
10-3 波的能量 能流密度
这表明能量密度是随时间t变化的。
平均能量密度：能量密度在一个周期内的 平均值 w 1 T wdt 1 2 A2 0 T 2
上式表明能量密度的在一周期内的平均值是常数。这 说明，体积元不断地从后面的介质中获得能量，又不 断地把能量传给前面的介质。平均说来，介质中无能量 积累。所以说波动是能量的传播。
第十章 波动
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10-3 波的能量 能流密度
例题6 一平面简谐波，频率为300Hz，波速为340m/s ,在截面积为3.00×10-2m2的管内空气中传播，若在10 秒内通过截面的能量为2.70×10-2J，求：
（1）通过截面的平均能流； （2）波的平均能流密度； （3）波的平均能量密度。
第十章 波动
第十章 波动
2
10-3 波的能量 能流密度
1 1 2 2 dWk dmv dV v 2 2 x y A cos (t ) u y x v A sin (t ) t u 振动动能
1 x 2 2 2 dWk dVA sin (t ) 2 u
y x A sin t x u u
代入体积元势能公式并化简可得：
1 x 2 2 2 dWp dVA sin (t ) 2 u
第十章 波动
6
10-3 波的能量 能流密度 计算表明，体积元的动能和势能相等，即
dWk dWP
体积元的总机械能
再利用纵波速度公式
u E
上式可以化简为：
1 2 dy 2 dWP u dV ( ) 2 dx
考虑到上式中的 dy dx 应是y对x的偏导数，于是有
1 2 y 2 dWP u dV ( ) 2 x
第十章 波动
5
10-3 波的能量 能流密度 而有波函数
x 可得： y A cos t u
x dW dWk dWp dVA sin (t ) u
2 2 2
第十章 波动
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10-3 波的能量 能流密度
讨 论 (1)在波动传播的介质中，任一体积元的 动能、势能、总机械能均随 x, t 作周期性变 化，且变化是同相位的. 体积元在平衡位置时，动能、势能和总 机械能均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零.
18
物理学
第五版
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选择进入下一节：
10-2 平面简谐波的波函数
10-3 波的能量 能流密度
10-4 10-5
10-6 10-7
惠更斯原理 波的衍射和干涉 驻波
多普勒效应 平面电磁波
第十章 波动
19
例题1 一平面简谐机械波在弹性介质中传 播,下述各结论哪个正确？ 选择（ D ） (A)介质质元的振动动能增大时，其弹性势 能减小，总机械能守恒. (B)介质质元的振动动能和弹性势能都作周期 性变化，但两者相位不相同.
(C)介质质元的振动动能和弹性势能的相位在 任一时刻都相同，但两者数值不同.
(D)介质质元在其平衡位置处弹性势能最大.
10-3 波的能量 能流密度
一
ຫໍສະໝຸດ Baidu波动能量的传播
1 波的能量
波的传播是能量的传播，传播过程中， 介质中的质点运动，具有动能 W k，介质形变 具有势能 W p .
第十章 波动
1
10-3 波的能量 能流密度
以棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
x
dx
y
y dy
x x
如上图所示，以距棒的左端为x处有一段长为dx的体积元， 若该棒的密度为ρ，截面积为S，则dV=Sdx. 当波传播到该体积元时，若它的左端发生位移y,则右端 位移为y+dy.这表明该体积元不仅发生运动，还产生了 形变，说明它既有动能也有势能。
第十章 波动
14
10-3 波的能量 能流密度 例题4 一个点波源位于o点，以o点为中心作两个同心 球面，它们的半径分别为R1和R2,在两个球面上分别取 相等的面积∆S1, ∆S2，则通过它们的平均能流之比为：
P1 P2
第十章 波动
15
10-3 波的能量 能流密度
能流密度 ( 波的强度 )I:
第十章 波动
3
10-3 波的能量 能流密度
弹性势能
1 2 dWp k dy 2
SE k dx
上式中k为棒的劲度系数，它与弹性模量E的关系为
O
x
dx
O
y
y dy
第十章 波动
x x
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10-3 波的能量 能流密度
把k代入到体积元的势能公式中有：
1 1 dy 2 2 dWp k dy ESdx( ) 2 2 dx