高二数学空间直角坐标系知识精讲

高二数学空间直角坐标系

【本讲主要内容】

空间直角坐标系

空间直角坐标系的建立，空间两点的距离公式

【知识掌握】

【知识点精析】

1. 空间直角坐标系的建立

在直角坐标系xOy 中，通过原点O ，再作一条数轴z ，使它与x 轴、y 轴都垂直。如图，轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y 轴的正半轴重合。这时，就说在空间建立了一个空间直角坐标系O —xyz ，O 叫做坐标原点，每两条坐标轴分别确定的平面xOy ，yOz ，xOz 叫做坐标平面。

z

O y

x

2. 空间直角坐标系的画法

用斜二测画法画x 轴、y 轴，再画z 轴，使得z 轴⊥xOy 平面（∠zOy=90°）

3. 空间一点坐标的意义

设M 是空间内一点，过M 点作三个半平面分别垂直于坐标轴，记它们与Ox ，Oy ，Oz 轴的交点顺次为A 、B 、C ，若A 、B 、C 在对应坐标轴上的坐标分别为x 、y 、z ，则把（x ，y ，z ）叫做M 点的直角坐标，记为M （x ，y ，z ），x 叫做横坐标，y 叫做纵坐标，z 叫做竖坐标。

这样，在空间任意一点与三个实数的有序数组（点的坐标）之间，建立起一一对应关系。 z)y,(x,P ↔

4. 空间直角坐标系的卦限

三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一卦限。在坐标平面xOy 上方，分别对应该坐标平面上的四个象限的卦限，称为第I ，第II ，第III ，第IV 卦限，在下方的卦限称为第V ，第VI ，第VII ，第VIII 卦限。

在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的，如第I 卦限，三个坐标分量x ，y ，z 都为正数，在第二卦限，x 为负数，y ，z 都为正数……

5. 空间两点的距离公式：

空间两点A （x 1，y 1，z 1）、B （x 2，y 2，z 2）的距离是：

212212212)z z ()y y ()x -(x B)d(A,-+-+=

【解题方法指导】

例1. 如图，在长方体OABC －D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=2，写出D'，C ，A'，B'四点的坐标。

z

y

x

解：∵D'在z 轴上，且|OD'|=2

∴D'点的竖坐标是2，横坐标与纵坐标都是零

因此D'点坐标为D'（0，0，2）

同理可得C 点的坐标为C ’（0，4，0），点A'的坐标是A （3，0，2）

点B'在xOy 平面上的射影是B ，因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横、纵坐标相同

在xOy 平面上，点B （3，4，0）

所以B'的横坐标x=3，纵坐标y=4

又点B'在z 轴上的射影是D'，点D'的竖坐标z=2，而B'与D'竖坐标相同

所以点B'的坐标是B'（3，4，2）

点评：求空间点的坐标的方法，找（或作出）过该点与三个坐标轴垂直的半平面与三个坐标轴的交点的坐标。

例2. 在z 轴上，求与点A （-4，1，7）和点B （3，5，-2）等距离的点。

解：因为所求的点M 在z 轴上，所以设该点为M （0，0，z ）

依题意有：|MA|=|MB|

即222222)z 2()05()03()7z ()10(4)(0--+-+-=

-+-++ 解得9

14z = 故所求的点为M （0，0，

914）

例3. 求证：以M 1（4，3，1），M 2（7，1，2），M 3（5，2，3）三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。

分析：证明一个三角形为等腰三角形或证明三角形中有两个角相等，或证明三角形有两条边相等，本题的条件适合证明边相等

证明：14)21()13()74(|M M |2

22221=-+-+-=

6)23()12()75(|M M |222232=-+-+-=

6)13()32()45(|M M |222213=-+-+-=

由于|M M ||M M |1332=，且M 1，M 2，M 3三点不在一条直线上，所以原结论成立。 点评：如果先求出的两条边已相等，就不必再求第三条边的长度。

【考点突破】

【考点指要】

在高考题中，立体几何每年必考一道解答题，属中档题，可用两种方法来解，其中一种方法就是采用空间向量来解，要涉及到建立空间直角坐标系，找出点的坐标，求空间两点间距离等，此题约14分。

【典型例题分析】

例4. （’05全国III ，川、滇、陕、甘、黔，18）

如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD

（I ）证明AB ⊥平面V AD 。

（II ）求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小。 V

D C

A B

（I ）证明：以D 为坐标原点，DA 、DC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过D 点与平面ADC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系（如图）

设A （1，0，0），则B （1，1，0），V （2

3,0,21） )2

3,0,21(V A ),,1,00(AB -=→=→

由VA AB 0VA AB ⊥=→⋅→得

又∵AB ⊥AD

且面AB 与平面V AD 内两条相交直线垂直

∴AB ⊥平面V AD

（II ）解：设E 为DV 中点，则E （4

1，0，43） )2

3,0,21(DV ),43,0,43(EB ),43,0,43(EA =→-=→=→ 由0DV EB =→⋅→，得EB ⊥DV ，又EA ⊥DV

因此，∠AEB 是所求二面角的平面角

721|

EB ||EA |EB EA EB ,EA cos =→⋅→→⋅→>=→→< 所以所求二面角的大小为7

21arccos 点评：此题是一道立体几何题，若用向量方法解需要建立空间直角坐标系，求出点的坐

标。在（II ）中，求|EB |→的原理是两点间距离公式。本题还考查了线面垂直，求二面角大

小等知识。

例5. （’06北京西城一模，17）

如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1=2

（I ）证明：AB 1⊥BC 1

（II ）求二面角C 1—AB 1—A 1的大小

（III ）求点B 到平面AB 1C 1的距离

C 1

A 1

B 1

C

A B

（I ）证明：如图建立直角坐标系，其中C 为坐标原点，依题意A （2，0，0），B （0，2，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2）