高一数学复习知识点讲解专题训练7---充要条件

答案 A 解析 当 x＝1 时，x3＝x 成立．若 x3＝x，x(x2－1)＝0，得 x＝－1,0,1；不一定得到 x
＝1. 2．设 a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A 解析 因为 a，b∈R，(a－b)a2<0，
1．知识清单： (1)充要条件概念的理解． (2)充要条件的证明． (3)根据条件求参数范围． 2．方法归纳：等价转化为集合间的关系．
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3．常见误区：条件和结论辨别不清．
1．设 x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
延伸探究 求证：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是 ac<0. 证明 必要性：由于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，
所以 ∆＝b2－4ac>0，x1·x2＝ac<0，
所以 ac<0.
充分性：由
ac<0
可得
b2－4ac>0
及
c x1·x2＝a<0，
因为 p 是 q 的充分不必要条件，
设 p 代表的集合为 A，q 代表的集合为 B， 所以 AB.
1－m≤－2， 1－m<－2，
所以1＋m>10
或1＋m≥10.
解不等式组得 m>9 或 m≥9，
所以 m≥9，
即实数 m 的取值范围是 m≥9.
2．本例中 p，q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充要条件？若存在，求出 m 的值；
所以 m 的范围为{m|m≥8}．
1．“x>0”是“x≠0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必 要条件．
1 2．已知 x∈R，则“x>1”是“x<1”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案 A
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“a>0 且 b>0”是“a＋b>0 且 ab>0”的充要条件．
二、充要条件的证明 例 2 求证：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1 的充要条件是 a＋b＋c＝0. 证明 充分性：因为 a＋b＋c＝0， 所以 c＝－a－b，代入方程 ax2＋bx＋c＝0， 得 ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1. 必要性：因为方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1， 所以 x＝1 满足方程 ax2＋bx＋c＝0. 所以 a×12＋b×1＋c＝0，即 a＋b＋c＝0. 故关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1 的充要条件是 a＋b＋c＝0.
若不存在，说明理由．
解 因为 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若
p
是
q

－2＝1－m， 的充要条件，则10＝1＋m，
m 不存在．
故不存在实数 m，使得 p 是 q 的充要条件．
反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
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(2)集合思想：记 p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若 A＝B，则 p 与 q 互为充要条件． 跟踪训练 2 已知 a，b 是实数，求证：a4－b4－2b2＝1 成立的充要条件是 a2－b2＝1. 证明 充分性：若 a2－b2＝1 成立， 则 a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1， 所以 a2－b2＝1 是 a4－b4－2b2＝1 的充分条件． 必要性：若 a4－b4－2b2＝1 成立， 则 a4－(b2＋1)2＝0， 即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0. 因为 a，b 为实数，所以 a2＋b2＋1≠0， 所以 a2－b2－1＝0，即 a2－b2＝1. 综上可知，a4－b4－2b2＝1 成立的充要条件是 a2－b2＝1.
4．若命题 p：两直线平行，命题 q：内错角相等，则 p 是 q 的________条件．
答案 充要 5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条
件”中选一个合适的填空． (1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的_____________； (2)“x<5”是“x<3”的_____________． 答案 (1)充要条件 (2)必要不充分条件 解析 (1)设 A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以 A＝B，即“x2 －1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． (2)设 A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为 AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B 解析 ab＝0 推不出 a2＋b2＝0，由 a2＋b2＝0 可得 a＝b＝0，推出 ab＝0，故选 B.
6．设 a，b 是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的____________条件．
答案 既不充分又不必要 解析 若 a＋b>0，取 a＝3，b＝－2，则 ab>0 不成立；反之，若 ab>0，取 a＝－2，b ＝－3，则 a＋b>0 也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件． 7．若“x≤－1，或 x≥1”是“x<a”的必要不充分条件，则实数 a 的最大值为________． 答案 －1 解析 “x≤－1，或 x≥1”是“x<a”的必要不充分条件，则由“x<a”可以推出“x≤
一、充分、必要、充要条件的判断 例 1 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件， 充要条件，既不充分又不必要条件)． (1)p：数 a 能被 6 整除，q：数 a 能被 3 整除； (2)p：x>1，q：x2>1；
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(3)p：△ABC 有两个角相等，q：△ABC 是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 解 (1)∵p⇒q，q 不能推出 p， ∴p 是 q 的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q 不能推出 p， ∴p 是 q 的充分不必要条件． (3)∵p 不能推出 q，q⇒p， ∴p 是 q 的必要不充分条件． (4)∵ab＝0 时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即 p 不能推出 q. 而当 ab>0 时，有|ab|＝ab，即 q⇒p. ∴p 是 q 的必要不充分条件． 反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若 p，则 q”以及“若 q，则 p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由 p1⇒p2⇒…⇒pn，可得 p1⇒pn；充 要条件也有传递性． 跟踪训练 1 已知 a，b 是实数，则“a>0 且 b>0”是“a＋b>0，且 ab>0”的________ 条件． 答案 充要 解析 因为 a>0，b>0，所以 a＋b>0，ab>0， 充分性成立；因为 ab>0，所以 a 与 b 同号，又 a＋b>0，所以 a>0 且 b>0，必要性成立．故
可得 a<b， 由 a<b，即 a－b<0，可得(a－b)a2≤0， 所以根据充分必要条件的定义可以判断，若 a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的
充分不必要条件．
3．已知四边形 ABCD，则“A，B，C，D 四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
高一数学复习知识点讲解专题训练 充要条件
学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件 进行证明．
知识点 充要条件 一般地，如果 p⇒q，且 q⇒p，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作 p ⇔q.
1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．( √ ) 2．q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．( √ ) 3．若 p 是 q 的充要条件，则条件 p 和 q 是两个相互等价的条件．( √ ) 4．q 不是 p 的必要条件时，“p⇏q”成立．( √ )
5＝2，即 m＝3 或 m＝1，所以 m＝1 是 y＝ x － ＋ m2 4m 5 为二次函数的充分不必要条件．
9．设 x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是 xy≥0. 证明 ①充分性：如果 xy≥0，则有 xy＝0 和 xy>0 两种情况． 当 xy＝0 时，不妨设 x＝0， 则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立． 同理，当 y＝0，或 x＝0 且 y＝0 时，|x＋y|＝|x|＋|y|， ∴当 xy＝0 时，等式成立， 当 xy>0 时，即 x>0，y>0 或 x<0，y<0， 又当 x>0，y>0 时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y， ∴等式成立． 当 x<0，y<0 时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立． 总之，当 xy≥0 时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且 x，y∈R， 得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即 x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
跟踪训练 3 已知 p：x<－2 或 x>3，q：4x＋m<0，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实
数 m 的取值范围．
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解
设 A＝{x|x<－2 或 x>3}，B＝xx<－m4
，
因为 p 是 q 的必要不充分条件， 所以 BA，所以－m4 ≤－2，即 m≥8.
三、充要条件的应用
例 3 已知 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若 p 是 q 的必要不充分条件，
求实数 m 的取值范围．
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为 p 是 q 的必要不充分条件，
所以 q 是 p 的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
1 解析 “x>1”⇔0<x<1，
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1 ∴“x>1”是“x<1”的充分不必要条件．
3．设条件甲为 0<x<5；条件乙为|x|<5，则条件甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 甲对应集合 A＝{x|0<x<5}，乙对应集合 B＝{x|－5<x<5}，且 AB，故选 A.
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－1，或 x≥1”，但由“x≤－1，或 x≥1”推不出“x<a”，所以 a≤－1， 所以实数 a 的最大值为－1.
8．m＝1 是函数 y＝ － ＋ xm2 4m 5 为二次函数的________条件．
答案 充分不必要 解析 当 m＝1 时，函数 y＝x2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m2－4m＋
1－m≥－2， 1－m>－2，
故有1＋m<10
或1＋m≤10，
解得 m≤3.
又 m>0，
所以实数 m 的取值范围为{m|0<m≤3}．
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延伸探究
1．若本例中“p 是 q 的必要不充分条件”改为“p 是 q 的充分不必要条件”，其他条
件不变，求实数 m 的取值范围．
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
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C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
4．如果 A 是 B 的必要不充分条件，B 是 C 的充要条件，D 是 C 的充分不必要条件，
那么 A 是 D 的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由条件，知 D⇒C⇔B⇒A，即 D⇒A，但 A⇏D，故选 A. 5．已知 a，b 是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的( )
所以方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，
即方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．
反思感悟 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明 p 是 q 的充要条件，首先要明确 p 是条件，q 是结论；其次推证 p⇒q 是证明充分性，推证 q⇒p 是证明必要性．