二次根式的概念和性质

二次根式
1.二次根式的概念
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是它本身0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
a + | b |= 0 ? a a2 + | b |= 0 ? a ......
0, b = 0 0, b = 0
题型:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知： x +4
2x=0,求y x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
a-4=9，则 a=13
12 n为一个整数,
求自然数n的值.
n≤12 n = 3，8，11，12
二次根式的性质（２）
想一想
a 2 a 等0于 什么?请举例验证.
性质２：
2
a a, (a 0)
试一试（3）计算:
2
3
=
3
2
5 2
=
5 2
2 0.04 =
0.04
我们已经得到:
根据等式的定义，可得
题型：同类二次根式：
化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。 下列哪些是同类二次根式
18 27
3 2 3 3
18 、 8 、
8 9m 32
2 2 3 m 4 2
32 是同类二次根式
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
归 纳
由
a2 aa,可 以0得
a 。a2 a 0
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次 根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
2．（１） （２）当
( 3)2 __ __3
时x ， 1
(1 x)2 __x__1
（３）
(x 2)2 ，x 2
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
x2
（４）若
( x 7)2 ， 1
x7
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
性质 3：当 a≥0 时， a2 =
a
；
当 a＜0 时， a2 = -a
。
也就是说： a2 =
|a| 。
a (a 0)
a2 a a (a 0)
例2 计算：
(1) (10)2 ( 15)2
(2) [ 2 (2)2 ] ( 2 2)
例3 计算：
(3 2)2 | 4 2 |
53
53
练习1：把下列各式化为最简二次根式
1 5
5 5
32
4 2
2
7
2 7 7
2x3 3y
x 6xy 3y
练习：把下列各式化成最简二次根式
(1) 1.5
(2) 4a 2 16a 2
3 6 22
20a2 2 5a
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积 的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变 为二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2 与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a )2 a
(2) (a)2 a
(3) (a 2)2 2 a
例5:已知:x<0,化简:
16x 2
解: 16x2 (4 x)2 4 x
2
思考：
a 1是不是二次 根式?
不是,它是二 次根式的代 数式.
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, ≥0 a
( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
2 a a, (a 0) a a。2 , (a 0)
利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的平
方的形式。如 4=
。
2
4
试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
3=
3，2
2
5
2
5 2
0.04
2
0.04
( a )2 a (a 0) 面积 a a
2
(
2 )2 7
7
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a=
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键
例 已知
x - 1 + y +，3求=x＋0y的值
解：∵
x≥-０1，
≥０，y + 3
x- 1+ y+ 3 = 0
∴ x - 1＝０，
＝y ０+ 3
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0, b = 0
由2x 5 0得：x 5 2
（３）
1 x x
由1 x
x 0得：x 0
1且x
0
题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 _x__≤__3时，
有3意义。x
2. a 4+ 4 a 有意义的条件是
3.求下列二次根式中字母的取值范围
.a 4
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x +13(y-2)2 =0,则x-y的值为(
)
D
A.3
B.-3
C.1
D.-1
练习
１.已知 y = x - 2 + 2，-求xx、+ y3的值. x=2，y=3
２.已知 a≥4
a 4 | 3 ，a求|aa的值.
a 4 a 3 a，即 a 4 3
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“ ”
的形式，例：
5 25 ,
0.9 0.81
题型：利用
a ( a )2 (a 0) 进行分解因式
例：分解因式：
(1) x 2 2
x2 ( 2 )2 x 2 x 2
(2)2 x 2 3 y 2
( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
2、 表a示什么？
表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16 , 81, 0 ,
1, 49
0.04 ;
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？
被开方数是非负数
即: a 0
1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
x7
小结一下
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
?
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
6、
x-1 x-2
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。
a
( 2 1 )2 2 1
3
3
( 5)2 5
(
2 )2 3
-2 3
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 =
a
；
当 a＜0 时， a2 = -a
练习．在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a2 4b2
你的理由是什么，请小组讨论一下。
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为 2；
（2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
性质 2：( a )2 = a (a≥0)
a 10 ,
00..0044,, aa2 ,2 ,
5,
aa,, 3 8 .
定义：式子
a (a叫做0二)次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数≥零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练习： x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4 x 2 x为全体实数(4) 1 x 0 x
(5) x3 x 0
(7)
1 a< 1
1 2a
2
1 (6) x 2
(8) 3 x | x | 4
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于等于零；
得 x≥2 且 x≠3。
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
x≥2
字母 x 的取值必须满足什么条件？
想一想：一个正数的算术平方根是正数 。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ 的取值范
围
1
（１） 3 x
（２）
2x 5
由3 x 0得：x 3
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取 值必须满足什么条件？
解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字 母 x 的取值必须满足什么条件 呢？
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母 x 的取值
必须满足什么条件？
解：由 x-2≥0 且 x-3≠0,
--不要求，只需了解
1、 a 0(a 0)
2、 a 2 aa 0
3、 a 2 a a 0
1、 ab a b a 0, b 0
2、 a a (a 0, b 0)
b
b
加 、减、乘、除
题型：最简二次根式：
１、被开方数不含分数；
２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；
注意：分母中不含二次根式。
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a Hale Waihona Puke Baidua＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
s
定义： 像 a2 ,2500, 这样b表示3 的算术平方根，且根 号内含有字母的代数式叫做二次根式。
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。
如
3, 1
。
也就是说： a2 =
|a| 。
算一算：(1) （-9）2 (2)
(
1 3
)2
(3) 64
(4) (x2+1)2
试一试
1.计算下列各题:
2
(1)
15
(2)
1
2
5
2.若 (1 x)2 1,则xx的取值范围为 ( )
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
3.
a2 与 （√ a）是一2 样的吗？
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化简: x2 6x 9 x2 2x 1
(其中 -1 x 3)
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a2 与( a）2
知识结构
三个概念
二
三个性质
次
根
式
两个公式
四种运算
最简二次根式
同类二次根式 有理化因式