人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总(超值哦).doc

人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总(超值哦)

二次根式的知识点汇总

知识点一：二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1

x

、x（x>0）、0、

42、-2、1

x y

+、x y

+（x≥0，y•≥0）．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

知识点二：取值范围

1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是

二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

例2．当x是多少时，31

x-在实数范围内有意义？

例3．当x是多少时，23

x++

1

1

x+

在实数范围内有意义？

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

例4(1)已知y=2x

-+2

x-+5，求x

y

的值．(2)若1

a++1

b-=0，求a2004+b2004的值

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

例1 计算

1．（3

2）22．（35）23．（5

6

）24．（7

2

）2

例2在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注： 1、化简

时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等

于a 本身，

即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即

；

2、

中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，

一定有意义；

3、化简时，先将它化成

，再根据绝对值的意义来进行化简。

例1 化简

（1）9 （2）2(4)- （3）25 （4）2(3)-

例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．

（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？（2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？

例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 知识点六：与的异同点

1、不同点：与

表示的意义是不同的，

表示一个正数a 的算术平方根的平方，

而

表示一个实数a 的平方的算术平方根；在

中，而

中a 可以是正实数，0，负实数。但与

都是非负数，即，。因而它的运算的结

果是有差别的，

，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即

时，

=

；

时，

无意义，而

.

知识点七：二次根式的乘除

1、a b＝ab（a≥0，b≥0）ab=a·b（a≥0，b≥0）

2

a

b=

a

b（a≥0，b>0）

a

b=

a

b（a≥0，b>0）

（思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0）例1．计算

（1）57（21

3

9（3927（4

1

2

6

例2 化简

（1916

⨯（2）1681

⨯（322

9x y（454

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1(4)(9)49

-⨯-=--

（212

4

25

25=4

12

25

25

12

25

25123

例4．计算：（112

3

（231

28

（311

416

（464

8

例5．化简：

（13

64

（22

2

64

9

b

a

（3

2

9

64

x

y

（4

2

5

169

x

y

例699

66

x x

x x

--

=

--

x为偶数，求（1+x2

2

54

1

x x

x

-+

-

的值．