三角形内心的向量表示形式

三角形内心的向量表示形式

有这样一个高考题：

已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（）

（A ）重心外心垂心（B ）重心外心内心（C ）外心重心垂心（D ）外心重心内心

答案为C ，即分别为外心、重心、垂心，通过此题我们可以发现三角形的这三个“心”的向量表示形式非常和谐美观。而三角形的“心”常见的有四个，我们不仅会想三角形内心的向量表示形式是什么呢？

内心的向量表示有三种常见的形式，网络以及资料上面，对于它们的证明往往不完整，下面我把内心的向量表示形式

及其验证的完整过程给读者介绍一下．

（１）点I 是ABC ∆所在平面内一点，I 是ABC ∆内

心的充要条件是

0AB AC BC BA CA CB AI BI CI AB AC BC BA CA CB

⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⋅=-⋅=-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 分析：此条件直观意义较强，如AB AC AB AC -u u u r u u u r u u u r u u u r 即分别为与AB u u u r 、AC u u u r 同向的单位向量AM u u u u r 、AN u u u r 的差向量MN u u u u r ，由条件可得MN 与AI 垂直，而MN 为等腰AMN ∆的底边，故AI 为A ∠的角平分线，同理可得BI 、CI 亦为角平分线，即I 是ABC ∆内心．

上面的条件直观意义较易发现，然而形式较为复杂，下面介绍一个较为简单的充要条件，你能做出证明吗？

（2）如图，ABC ∆的边长分别为a 、b 、c ,点I 是ABC

∆所在平面内一点，I 是ABC ∆内心的充要条件是

0aI A bIB cIC ++=u u r u u r u u r r

证明：已知点I 为ABC ∆的内心，延长AI 交BC 于点D ， 则BD

c DC b =，所以BD c BC b c =+，ac BD b c

=+ 连接BI ,则有AI AB

ID BD =ac b c c

b c a ++==，所以AI b c AD a b c

+=++ 因此，

b c AI AD a b c +=++u u r u u u r =()()b c b c c AB BD AB BC a b c a b c b c +++=++++++u u u r u u u r u u u r u u u r (())b c c AB AC AB a b c b c +=+-+++u u u r u u u r u u u r ()b c b c AB AC a b c b c b c +=+++++u u u r u u u r 反之，当0aI A bIB cIC ++=u u r u u r u u r r 时，可得点I 为ABC ∆的角平分线的交点，即为三角形的内心．

此题的证明需要利用角平分线的性质定理与比例的性质，在化简变形的过程中要特别注意．

（２）若0为平面内任一点，则点I 为ABC ∆的内心的充要条件为

a b c OI OA OB OC a b c a b c a b c =

++++++++u u r u u u r u u u r u u u r 证明：由（1）知0aIA bIB cIC ++=u u r u u r u u r r 从而有a b c OI OA OB OC a b c a b c a b c

=++++++++u u r u u u r u u u r u u u r 上面我们提到的三角形的四个“心”非常奇妙，这一点从它们的向量表示形式上也能够体现出来，在平时的学习中要注意体会；同时向量法是研究几何图形性质的重要方法，而上面的证明过程也告诉我们把几何图形中的几何量用向量表示出来后，灵活运用平面几何中的比例关系及比例的性质是再进行向量运算的“先行军”．