两圆的公切线(2)

1．两圆半径分别为8和5，若两圆共有三条公切线，那么圆心距 d为( ) A．d＝3 B．3＜d＜13 C．d＝13 D．d＞13 2．⊙O1与⊙O2的半径分别为 7 cm和 5 cm，O1O2＝2 6 cm，则( ) A．两圆有两条外公切线，有且只有一条内公切线。 B．两圆既有两条外公切线，又有两条内公切线。 C．两圆只有两条外公切线，没有内公切线。 D．两圆既无外公切线，又无内公切线。 3．若⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和1cm，其内公切线长为 4cm，则O1O2 长为 ______ 。
C
O1
A
B
O2
D
E
P
例2 已知⊙O1与⊙O2的半径之和等于8cm，两圆的一条 内公切线长为6cm，求这两圆的圆心距。(如图)
解： 连结O1O2、O1A、O2B，过O1作O1C∥AB交O2B延长 线于C，则O1A⊥AB，O2B⊥AB，四边形AO1CB为矩形。 ∴O1C＝AB＝6cm，O1A＝BC ∴O2C＝O2B＋BC＝O2B＋O1A＝8cm
A．一条外公切线长的二倍。 B．两条内公切线长的和。 C．一条外公切线长和一条内公切线长的和。 D．两条内公切线长和一条外公切长的和的一半。
9．设相离的半径分别为4cm和2cm，且它们的两条内公切线 互相垂直，则内公切线的长为_______cm。
10．若两外切，内公切线和一条外公切线相交成60°的角， 则小圆半径与大圆半径之比为_______ 。
6．若两圆外离且外公切线长m与内公切线长n的大小关系 是( ) A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能确定 7．如果两圆的半径和它们的圆心距分别等于一个三角 形的三条边，那么 这两圆的公切线的条数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
8．如图，两圆的两条内公切线和一条外公切线围成△ABC， 则△ABC的周长等于( )
7．若外离两圆的半径是5cm和3cm，内公切线与连心线所夹 锐角的正弦为 4 ，则内公切线长____ cm，圆心距为____cm。 5
8．如图所示，已知两圆的内公切线互相垂直，若两圆的 半径分别为5和4厘米，则两圆圆心距为( )
A . 9cm
B . 9 2cm
C. 9 2 2 cm
D . 41 cm
(2)
1. 掌握求两圆内外公切线长的方法。 2.掌握两圆内公切线的性质，并能根据内公切线的概念及 其性质 解答有关的计算和证明问题。 3.掌握用直尺作两圆内公切线的方法，了解用两圆内公切 线的尺规作图法。
1．内公切线的概念： 在上一讲的学习中，我们已经知道：和两个圆都相切 的直线，叫做两圆的公切线，若两个圆在公切线两旁时， 这样的公切线叫做内公切线。
∴ O1 O2 ＝
82 6 2 ＝10(cm)
例3 如图5，已知⊙O1和⊙O2的内公切线CD和外公切 线AB分别与连心线O1O2相交于P、Q， A
求证： 分析：
O 1P
O2P
＝OQ
2
O 1Q
.
Q
B
C O2 D
直接证明这个比例式较困难， 为此先看比 O 1P ，
2
O1 P
OP
注意CD为内公切线， 连O1C、O2D可得O1C∥O2D， O 1C 1P 因此可得 O ＝ ， OP OD
4．已知：如图(7)，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和 ⊙O2的外公切线，B、C为切点，过A作直线EF交⊙O1于E， 交⊙O2于F，连结EB、FC并延长交于G，
求证：GB2＋GC2＝BC2。
(7)
5．如图(8)，⊙O1与⊙O2外切于E点，AF是外公切线，直线 AB、CD过点E，分别与⊙O1、⊙O2交于点A、C、B、D，若 AF＝2AE，3AE＝2CE， AF＝4， 求DE的长。
求证：AM⊥BN .
课外作业
1． 如果两圆半径分别为4cm和6cm，其圆心距为20cm，则 两圆的两条内公切线所成的角是_______度。 2．两圆的半径分别为2.5和1.5，圆心距为5，则两圆的内公切线 长为_______ 。 3．两圆共有四条公切线，如果两圆圆心距为12，大圆半径为7， 则小圆半径的所有可能的正整数值是_______ 。
O 1P
O2P ＝ O2D
Q
A
B
C O2 D
O1 P
O 1C
，
又∵AQ为⊙O1和⊙O2的外公切线 ∴O1B⊥AB，O2A⊥AB
1 ∴ O2Q ＝ ∴O1B∥O2A
OQ
O 1A
O2B
∵O1C＝O1B，O2D＝O2A ∴
O 1P
O2P
＝OQ .
2
O 1Q
本讲着重介绍了求内公切长的方法、内公切线的性质、内 公切线的作法以及内公切线条数与两圆位置之间的联系，这些都 是有关内公切线的基本知识，应当认真体会，确实掌握好。 内公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性质，例如内 公切线垂直过切点的半径。在解答有关内公切的问题时，常常要 连结圆心和切点，得出垂直关系，并且据此可以推出两圆外切时， 内公切线垂直连心线。 如果两圆外切或内切时，过切点作两圆的公切线是解题时 常用的辅助线，因为这条切线是两圆公共的切线，其作用是可以 构成两个图中的有关角的关系，从而为利用弦切角、圆周角、圆 心角等的性质创造了条件。由此达到计算和论证的目的。
9．若⊙O1与⊙O2外离，A、B是一条内公切线与两条外公切 线的交点，则 AB的长( )
A．等于一条外公切的长。 B．等于内公切线长与外公切线长的平均数。 C．等于内公切线长与外公切线长的比例中项。 D．当且仅当两圆为等圆时等于一条外公切线的长。
10．已知：如图，两圆外切于P，直线MN与两圆分别切于 M、N，过P作一直 线交两圆于A、B，
d 2 (R r)2
O1
A
D
r
P C E
R B
O2
。
例 2 、（教材例 2 ）已知：⊙ O1 和⊙ O2 的半径分别 为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，AB是⊙O1和 ⊙O2的一条内公切线，切点分别是A，B． 求：公切线的长AB。
解 ： 连 结 O1A、O2B， 作 O1A⊥AB， O2B⊥AB．
当两圆外离时，有两条内公切线，当两圆外切时有一 条内公切线，两圆相交，内切或内含时无内公切线。
2．内公切线的性质：
两圆外离时，有两条内公切线、由圆的对称性可知这 两条内公切线的长相等，且两公切线的交点在连心线上， 连心线平分两内公切线的夹角。如图(1)所示：内公切线 AB ＝CD，AB与CD的交点P在连心线O1O2上， ∠APO1＝∠CPO2 . 3．内公切线长的计算： 如图，作O1E∥AB交O2B的延长线于E， 构成Rt△O1EO2， 设⊙O1和⊙O2的半径分别为r，R， 则O2E＝R＋r，O1O2＝d， AB＝O1E＝
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睛看不见去低位面多危险，我跟你一去。”夜弑天握住千菱子旭因为过于激动而紧握的手，看着夜北冥白净的脸庞，严 肃的说道：“既然你已经决定好了，那你什么时候出发？需不需从家族中带些人一起去?”夜北冥点点头说道：“人我 只需要带我的四个近侍就够了，其他的我都安排好了，爹爹就住在家里吧，有机会我会回来看您的。”梦灵看着千菱子 旭不舍担忧的样子，低头沉思了一下，就开口道：“带上梦瑶吧，梦瑶的炼丹术是我亲自教导的，带着她可以给你炼药， 这样一来我们也会放心很多。”一旁的花玄月也不甘示弱的高声说道：“也带上濯清那小子，虽然实力不高，但想来低 位面的人的实力也不会高到哪去，要是有不长眼的惹你，就让濯清上，他也是时候出去见一下世面了。”夜北冥干脆的 答道：“要是他们两个都愿意的话，我可以带走。”几人意见统一后，夜北冥就表示自己会在三天后出发，然后千菱子 旭就拉着夜弑天回夜家，说是要在三天之内给夜北冥准备好离开的东西。而花玄月则回到自己很长时间没用的炼器房给 夜北冥炼器，梦灵也带着自己的女儿进入到炼丹房赶在夜北冥离开前给练好足够的丹药。三天后，夜北冥带着千菱子旭 从家族中带来的四个近侍，还有梦瑶跟濯清，在花玄月等人不舍担忧的眼神中离开了幽冥城，一行七人来到梦之境最顶 层。初次见到夜北冥暗处的势力，真的是很惊讶，原来自己以前最爱吃的点心都是自己师姐名下的产业，还有这自己以 前常常听到却没有亲眼见识的梦之境。濯清梦瑶两人简直对自己的师姐是敬佩之心如滔滔江水蔓延不觉啊，看着夜北冥 的眼里都布满了闪闪发光的小星星，以后自己想吃凤栖楼里的美食不用在排队了，欧耶~月如两姐妹还有自己亲自从暗 门挑出来的十二精英，满是崇拜的看着坐在高位上的夜北冥，至于夜北冥身后站着的六人，则自动给无视了。夜北冥精 神力扫过底下的十四人，感应着她们的实力，略略点了点头。顿时，底下的人如同打了鸡血似的精神一振，站的越发的 笔直，就像接受女帝检阅的军队似的。夜北冥高声说道：“我想你们都很好奇我为什么把你们聚集到这里，因为现在， 我有一个非常强大的隐形的敌人，这次我们要去跟她们战斗，在战斗之前，我们必须隐藏好自己的实力，然后找到那个 敌人，取她们的项上人头，所以现在，我们要去低位面给自己穿上与敌人同样的隐身衣，这一路走来，你们或死或伤， 你们怕吗？”“为主上战斗，赴汤蹈火！义不容辞！我们不怕！”一阵阵坚定地声音回响在整个楼层，就连月如两姐妹 也跟着高声说着。幸好楼层与楼层之间的隔音效果非常好，不然这声音传出去，绝对会引人怀疑。夜北冥听着这坚定的 声音，高声说道：“好！这才是我暗门的人，现在，你们十二人
4．两圆外离，圆心距为25cm，两圆的周长为15πcm和10πcm， 则内公切 线与连心线的夹角（锐角）等于 ______ 。
5．已知：如图(6)，⊙O1与⊙O2外切于点T，外公切线AB 与连心线O1O2交于P，A、B是切点， 求证：(1)∠ATB＝90°； (2)PT2＝PB· PA .
6．若两圆内切时，圆心距为14cm，外切时，圆心距为40cm， 则两圆圆心 距为50cm时，内公切线的长为______cm。
2 2 1Q 和AB为公切线， 同样注意 O OQ 2
连O1B、O2A可得O1B∥O2A，可知 O1Q ＝ O1B ， OQ OA
2 2
而O1C＝O2B，O2A＝ O2D， 得
O 1C
O2D
＝O 1A ，故可以得证 .
2
OB
证明：连结O1C、O1B、O2A、O2D ∵CD为⊙O1和⊙O2的内公切线 ∴O1C⊥CD，O2D⊥CD ∴O1C∥O2D ∴
过 O1作O1C⊥O2B，交O2B的延长线于C，
则O1C= AB，O1A=BC． 在Rt△O2CO1和． O1O2=10，O2C= O2B+ O1A=6 ∴O1C=O1源自AO2B C
10 6 8 (cm)．
2 2
∴AB=8（cm）
4．范例解析： 例1 要做一个如图那个的V形架，将两个钢管托起，已知 钢管的外径分别为200mm和80mm，求V形角的度数。