【数学建模学习】exp3_求代数方程的近似根

实验三 求代数方程的近似根（解）

一、问题背景和实验目的

求代数方程0)(=x f 的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当)(x f 是一次多项式时，称0)(=x f 为线性方程，否则称之为非线性方程．

当0)(=x f 是非线性方程时，由于)(x f 的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．

本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间],[b a ，或给出某根的近似值0x ．在实际问题抽象出的数学模型中，0x 可以根据物理背景确定；也可根据)(x f y =的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况．

通过本实验希望你能：

1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；

2. 求代数方程（组）的解．

二、 相关函数（命令）及简介

1．abs( )：求绝对值函数．

2．diff(f)：对独立变量求微分，f 为符号表达式． diff(f, 'a')：对变量a 求微分，f 为符号表达式．

diff(f, 'a', n)：对变量 a 求 n 次微分，f 为符号表达式． 例如： syms x t

diff(sin(x^2)*t^6, 't', 6) ans=

720*sin(x^2)

3．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])：求解多项式11 n n n c x c x c ++++的所有

根．例如：

求解：32672270x x x ---=． p = [1 -6 -72 -27]; r = roots(p) r =

12.1229 -5.7345 -0.3884

4．solve('表达式')：求表达式的解．

solve('2*sin(x)=1') ans = 1/6*pi

5．linsolve(A, b)：求线性方程组 A*x=b 的解． 例如：

A= [9 0; -1 8]; b=[1; 2]; linsolve(A, b) ans=

[ 1/9] [19/72]

6．fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解．其中fun 为一个定义的函数，用“@函数名”方式进行调用． 例如：

fzero(@sin, 3) ans=

3.1416

7．subs(f, 'x ', a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x ，并计算出值． 例如：

subs('x^2 ', 'x ', 2) ans = 4

三、 实验内容

首先，我们介绍几种与求根有关的方法：

1．对分法

对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．

设)(x f 在],[b a 上连续，0)()(<⋅b f a f ，即 ()0f a >，()0f b <或()0f a <，()0f b >．

则根据连续函数的介值定理，在),(b a 内至少存在一点 ξ，使()0f ξ=． 下面的方法可以求出该根：

(1) 令02

a b

x +=，计算0()f x ；

(2) 若0()0f x =，则0x 是()0f x =的根，停止计算，输出结果0x x =． 若 0()()0f a f x ⋅<，则令1a a =，10b x =，若0()()0f a f x ⋅>，则令10a x =，

1b b =；11

12

a b x +=

． ……，有k a 、k b 以及相应的2

k k

k a b x +=

． (3) 若()k f x ε≤ (ε为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果

2

k k

k a b x +=

； 反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．

以上方法可得到每次缩小一半的区间序列{[,]}k k a b ，在(,)k k a b 中含有方程的

根．

当区间长k k b a -很小时，取其中点2

k k

k a b x +=为根的近似值，显然有 1111111

()()()2222

k k k k k k x b a b a b a ξ--+-≤-=⨯⨯-==-

以上公式可用于估计对分次数k ．

分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为1

2

的等比级数相同．由

于10

21024=，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值．

2. 迭代法

1) 迭代法的基本思想：

由方程()0f x =构造一个等价方程

()x x φ=

从某个近似根0x 出发，令

1()k k x x φ+=， ,2,1,0=k

可得序列{}k x ，这种方法称为迭代法．

若 {}k x 收敛，即

*lim k k x x →∞

=，

只要()x φ连续，有

1lim lim ()(lim )k k k k k k x x x φφ+→∞

→∞

→∞

==

即

可知，{}k x 的极限*x 是()x x φ=的根，也就是()0f x =的根．

当然，若k x 发散，迭代法就失败．

以下给出迭代过程1()k k x x φ+=收敛的一些判别方法：

定义：如果根*x 的某个邻域*x x δ-≤中，使对任意的0x ，迭代过程1()k k x x φ+=， ,2,1,0=k *x 附近局部收敛． 定理1： 设**()x x φ=，在*x 的某个邻域Ω内'()x φ连续，并且'()1x q φ≤<，x ∈Ω，则对任何0x ∈Ω，由迭代1()k k x x φ+=决定的序列{}k x 收敛于*x ． 定理2：条件同定理 1，则

*

101k

k q x x x x q

-≤--

**()

x x φ=