圆与圆的位置关系专题讲义

圆与圆的位置关系专题讲义

一、基本概念

圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：

1．通过两圆交点的个数确定；

2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；

3．通过两圆的公切线的条数确定．

为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：

二、典型例题

例1 如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=2

2，那么∠BAF= 度．

例1图例2图

例2 如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( ) ．

A．2∶5 B．1：2 C．1：3 D．2∶3

例3 如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．

(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；

(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．

例4 如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD 并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=2

4，大、小两圆半径差为2．

(1)求大圆半径长；

(2)求线段BF的长；

(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．

例5 已知：如图，⊙O 与⊙P 相交于A ，B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 的弦AC 切⊙P 于点

A ，CP 及其延长线交⊙P 于点D ，E ，过点E 作EF ⊥CE 交C

B 的延长线于F ． （1）求证：B

C 是⊙P 的切线；

（2）若CD=2，CB=22，求EF 的长；

（3）若k=PE ：CE ，是否存在实数k ，使△PBD 恰好是等边三角形?若存在，求出是的

值；若不存在，请说明理由．

三、同步练习

（一）填空题

1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．

2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ．

3．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．

（二）选择题

4．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( ) ．

题图第3题图

第

4

A ．2

B ．2

21+

C ．231+

D ．231+

5．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l 的切线AC

交B O l 的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( ) ．

A ．5

B ．52

C ．52+

D ．53

6．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( ) ．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 （三）解答题

7．如图，⊙O l 和⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O l 于点D ，交⊙O 2于点E ，DA 与⊙O 2相切，切点为C ．

（1）求证：PC 平分∠APD ；

(2)求证：PD ·PA=PC 2+AC ·DC ； (3)若PE=3，PA=6，求PC 的长．

8．如图，已知⊙O l 和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O l 和⊙O 2的公切线，切点为B 、C ，连结BA 并延长交⊙O l 于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E 、F ．求证： (1)CD 是⊙O l 的直径；

(2)试判断线段BC 、BE 、BF 的大小关系，并证明你的结论．

题图第5题图

第

6

9．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．

(1)求证：AB=AC；

(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；

(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．

10．如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O1的圆心O1在OA上，并与弧AB 内切于点A，半圆O2的圆心O2在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O1与半圆O2相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y．

(1)试建立以x为自变量的函数y的解析式；

(2)求函数y的最小值．

参考答案：例1

例2

例3

例4