§ 曲线的凹凸性与拐点及图象

x (, 1) 1 ( 1 , 1 ) 1
3
3
33
3
( 1 ,1 ) 3
1 (1,)
f (x)
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
1
x 返回
3
3
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
x (,0) ０
(0, 1 )
1
( 1 , )
4
4
4
y
＋
不存在
－
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
和
(1 4
,)
内是凹的
,
在
内
(0,
1 4
)
是凸的；由于
y x0
0，
y
x1 4
16
3
3
16 ，故曲线
的拐点（0,
0）和
(
1 4
x2
e 2
0,
x
x 2
得水平渐近 y线 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x ( ,1)1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
(x)
0
(x) (x)
0 0
拐点
(1, 1 ) 2e
极大值
1
2
拐点
(1, 1 ) 2e
y1
2
1
o
1
x
例3 作函 f(x) 数 x3x2x1的.图形
,
16
3
3
16 ) .
第六节 函数图形的描绘
一： 曲线的渐近线 1. 水平渐近线
定 义 1 若 自 变 量 x ( 有 时 仅 当 x 或
x ) 时 , 函 数 f (x) 以 常 数 C 为 极 限 , 即
lim f x C ,则直线 y C 叫做曲线 y f (x) 的水平渐 x
例3 求曲y线 3 x的拐 . 点
解
当x0时, y
1 3
2
x3
,
y 4x53, 9
x0是不,可 y,y均 导不 点 . 存在
但 (,在 0 ) 内 ,y 0 , 曲线(在 ,0]上是凹 ; 的
在 (0 ,)内 ,y 0 , 曲线[0,在 )上是凸 . 的 点 (0,0)是曲 y3线 x的拐 . 点
(1)求 f (x)
(2)令 f (x) 0,解出这方程在区间a,b内的实根
x 0
；
求 f (x)不存在的点
x 0
；
(3)在点
x 0
的左右两侧,检查
f
(x)
在
x 左右两侧附近 0
的符号：如果 f (x)的符号相反,则点(x , f (x ))就是拐点；
0
0
如果 f (x)的符号相同, 则点(x , f (x ))就不是拐点.
第五节 曲线的凹凸性与拐点
1、函数的凹凸性定义
y
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
C B
A
o
x
y
y f(x)
y
y f(x)
o
x
o
x
观察下图 ,理解定义
定义 1 如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点处 切线的上方, 则称此曲线弧在该区间内是凹的,此区间 称为凹区间；如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一 点处切线的下方, 则称此曲线弧在该区间内是凸的,此 区间称为凸区间.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 (3,2)2 (2,0) 0 (0,)
f(x) 0
不存在
f(x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
Baidu Nhomakorabea
极值点
3
间 断 点
补充点: (1 3 ,0 ),(1 3 ,0 );
A(1,2), B(1,6), C(2,1).
作图
y
6B
2
在I 上的图形是（向上）的凸（或凸弧．）
y
yf(x) B
y yf(x) B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A
oa
bx
f(x)递减 y 0
定理2 如果f (x)在[a,b]上连续 ,在(a,b)内具有 一阶和二阶,导 若数 在(a,b)内 (1) f(x)0,则f (x)在[a,b]上的图形是;凹的 (2) f(x)0,则f (x)在[a,b]上的图形是.凸的
0
xx0
直线 x x 叫做曲线 y f (x)的垂直渐近线. 0
例如：lim ln(x 1) x 1 x 1是曲线 y ln(x 1)的垂直渐近线.
作函数图形的一般步骤 (1)确定函数 y f (x)的定义域,求出 f (x)和 f (x)；
(2)求 f (x) 0和 f (x) 0在定义域内的全部实根.用这 些根把定义域分成几个部分区间；
(3)确定每个部分区间内 f (x)和 f (x)的符号.由此确定图 形的升降和凹向,极值点和拐点；
(4)确定图形的水平,垂直渐近线及其他变化趋势；
(5)算出 f (x) 0和 f (x)的根所对应函数值.定出图形上 相应的点.
例1 作函 f(x)数 4(x x 21)2的图 . 形
解 D:x0,非奇非偶函数,且无对称性.
1
C
3 2 1 o 1 2
x
2
A
3
练习: 作函数 (x)
1
x2
e2
的图. 形
2
解 D:(, ), W:0(x) 1 0.4.
2
偶函数,图形关于y轴对称.
(x)
x
x2
e 2,
(x)(x1)x (1)ex22.
2
2
令 (x)0, 得驻x点 0,
令 (x)0, 得特x殊 1,点 x1.
lim (x)lim1
解 D:(, ),无奇偶性及周期性.
f(x ) ( 3 x 1 )x ( 1 )f,(x ) 2 (3 x 1 ). 令f(x)0, 得驻 x点 1, x1.
3 令 f(x)0, 得特殊x点 1.
3 补充点: A(1,0), B(0,1), C (3 , 5).
28 列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点 与拐点:
近线.
例如： lim arctan x ,lim arctan x
x
2 x
2
y 和 y 是曲线 y arctan x 的两条水平渐近
2
2
线.
1.2垂直渐近线
定义 2 若当自变量 x x (有时仅当 x x 或
0
0
x x )时, 函数 f (x)为无穷大量,即lim f x ,则
x
2
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义2 设f (x)在区间I 上连续, 如果对I 上任意两
点x ,
x
,
恒有
f
(
x 1
x 2
)
f (x ) 1
f
(x 2
)
,
那末称
12
2
2
f (x) 在I 上的图形是（向上）的凹（或凹弧;）
如果恒有f
(
x 1
x 2
)
f (x ) 1
f
(x 2
)
,
那末称f
(x)
2
注意:若 f(x0)不存 ,点 (x0在 ,f(x0)也 ) 可能
是连y续 f(x曲 )的线 拐 . 点
练习：讨论曲线 y (x 1)3 x5 的凹凸性与拐点.
解 函数的定义域为 (,) ．
由于
y
x
8 3
5
x3
，
y
8 3
5
x3
5 3
2
x3
,
y
40 9
x
2 3
10 9
1
x3
10 9
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
y
C
问题:如何表示曲线的弯曲方向?
B
f (x) f (x )
y
1
2
2 yf(x)
f ( x1)
f (x2) f ( x1 x2 )
2
o
x1
x1 x2 2
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
A
o
x
y
f ( x1 x2 ) 2
yf(x)
f(x1) f(x2)
2
f ( x1)
f (x2)
o x1 x1 x2 x2
例1 判断曲 y线 x3的凹凸 . 性
解 y3x2, y6x, 当x0时，y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x0时，y 0, 曲线 在[0, )为凹的； 注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分 点.界
2 曲线的拐点
定义 3 连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界
点叫做曲线的拐点.
求函数拐点的步骤：
f(x)4(xx32), f(x)8(xx4 3). 令f(x)0, 得驻 x点 2, 令 f(x)0, 得特殊 x点 3. lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐y近线 2;
lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] , 得铅直渐近 x线 0.
0
0
例2 求曲y线 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸
解 D :(, )
y1x231x22, y3x6 22x43x6 (x2)
3
令y0,
得x1
0,
x2
2. 3
x (,0)
0 (0, 23)
2 3
(23,)
f(x) 0
0
f (x) 凹的
拐点
拐点
(0,1) 凸的 (23,1127) 凹的
凹凸 (,0 区 ] ,[0 ,2 3 间 ],[2 3 为 ,) .