苏州苏州科技城外国语学校必修第二册第二单元《复数》检测题(答案解析)

一、选择题

1．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）

A ．55i -+

B ．55i -

C ．55i +

D ．55i --

2．如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=，那么|1|z i ++的最小值是( )

A ．1

B

C ．2 D

3．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 4．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26 B ．24，26 C ．12，0 D ．6，8

5．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）

A B ．2 C ．D 6．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则

1z =( ) A ．i B ．i - C ．2i D ．2i -

7．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）

A ．1i --

B ．1i +

C ．55i +

D ．55i - 8．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ-

B ．()sin αβ+

C ．()cos αβ-

D ．()cos αβ+ 9．设3i z i +=

，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1

B ．-1

C ．3

D ．-3 10．复数

11i i +-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

11．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）

A B C D

12．若32a i i -+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32 二、填空题 13．棣莫弗公式()cos sin cos sin n x i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫

弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭在复平面内所对应的点位于第______象限.

14．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．

15．定义运算a c

ad bc b d =-，复数z 满足z 1i 1i i =+，则复数z =______.

16．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________. 17．已知1cos z isin αα=+，2cos z isin ββ=-，α，β为实数，i 为虚数单位，且125121313

z z i -=+，则cos()αβ+的值为_______. 18．已知复数

（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____

19．若复数214t z t i

+=-+

在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________. 三、解答题

21．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数．

(1)求实数a 的值；

(2)若11i

z z =-，求复数z 的模||z . 22．已知复数()1z mi m R =+∈，

312z i -+是实数． （1）求复数z ；

（2）若复数0112

z m z =+-是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值． 23．已知复数()2227656 ()1

a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？

24．已知i 是虚数单位，复数11()z ai a R =-∈，复数2z 的共轭复数234z i =-.

（1）若12z z R +∈，求实数a 的值；

（2）若12

z z 是纯虚数，求1z . 25．已知虚数z 满足4z z

+

是实数，且42z z ≤+≤ （1）试求z 的模；

（2）若22z i --取最小值m 时对应的复数z 记为0z ，试求

①m 的值；

②求200z 的值．

26．若z C ∈

，42i z z +=，sin sin i ωθθ=-（θ为实数），i 为虚数单位. （1）求复数z ；

（2）求z ω-的取值范围.

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一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果.

【详解】

向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，

根据复数与复平面内的点一一对应，

可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．

由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，

根据复向量、复数与复平面内的点一一对应，

可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ．

【点睛】

解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．

2．A

解析：A

【分析】