第二课时 导数的几何意义

A.f′(1)>f′(2)>f′(3) C.f′(3)>f′(2)>f′(1)
B.f′(2)>f′(1)>f′(3) D.f′(3)>f′(1)>f′(2)
解析 由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处 切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1). 答案 C
提示 也可能有多个公共点，如曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线y＝x3有 两个公共点.
[微训练]
1.曲线 y＝1x在点(1，1)处切线的斜率为( )
A.1 解析Βιβλιοθήκη B.－11 C.2
k＝lxim01＋1ΔΔxx－1＝lxim01＋－Δ1 x＝－1.
答案 B
D.－12
2.函数f(x)的图象如图所示，则( )
故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
规律方法 若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据 导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
【训练 1】 求曲线 y＝1x在点2，12处的切线方程. 解 曲线在点处的切线的斜率为k ＝ lxim 0 2＋1ΔΔxx－12＝ lxim 0 2（2－＋1Δx）＝－14，
∴切线方程为 y－13x30＋43＝x20(x－x0)， 即 y＝x20·x－23x30＋43. ∵点 P(2，4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即 x30－3x20＋4＝0. ∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1，或 x0＝2.
解析 (1)设切点坐标为(x0，y0)， 则 Δy＝[2(x0＋Δx)2＋1]－(2x20＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2， ∴ΔΔyx＝4x0＋2Δx，∴f′(x0)＝ lxim 0 ΔΔyx＝4x0. 又∵切线的斜率为 k＝tan 45°＝1，∴4x0＝1 即 x0＝14.
∴y0＝2×142＋1＝98，∴切点坐标为14，98.
2.导数的几何意义 “在点(x0，f(x0))处”的切线就是指(x0，f(x0))是切点.
当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝ f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的 斜率k0，即
k0＝
lim x0
lim x0
4＋2Δx＋13（Δx）2＝4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2，4)的切线相切于点 Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为
k＝
lim x0
13（x0＋Δx）Δ3＋x 43－13x30＋43＝x20，
由直线的点斜式方程可得切线方程为 y－12＝－14(x－2)，即 x＋4y－4＝0.
题型二 求切点坐标或参数值 【例2】 (1)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该
切点的坐标为________. (2)若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝________.
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝f′(x0).
3.导函数
对于函数 y＝f(x)，当 x＝x0 时，f′(x0)是一个确定的数，则当 x 变化时，f′(x)
就是 x 的函数，我们称它为函数 y＝f(x)的导函数(简称导数), 即 f′(x)＝y′＝
f（x＋Δx）－f（x）
lim x0
Δx
.
拓展深化 [微判断] 1.函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数.( √ ) 2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率.( √ ) 3.直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点.( × )
[微思考] 1.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线吗？
提示 不一定，例如直线x＝1与曲线y＝cos x只有一个公共点，但直线x＝1不 是曲线y＝cos x的切线. 2.导函数f′(x)与函数在x＝x0处的导数f′(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？ 提示 不相同.(1)两者的区别：由导数的定义知，f′(x0)是一个具体的值，f′(x) 是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两 者的区别是：前者是数值，后者是函数. (2)两者的联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此 是函数在某一点处的导数.
(2)设直线
y＝3x＋b
与曲线
y＝x3
的切点为
P(x0，y0)，由
y＝x3
得
y′＝
lim x0
ΔΔyx＝
lim x0
（x＋ΔΔxx）3－x3＝
lim x0
[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，所以曲线
问题 如果设曲线的方程为y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲线在点A处的切线的斜 率是什么？ 提示 k＝f′(x0).
1.切线的概念 在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限 趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位 置P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线.
题型一 求切线的方程 【例 1】 已知曲线 y＝13x3＋43.
(1)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2，4)的切线方程.
解 (1)∵P(2，4)在曲线 y＝13x3＋43上， ∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为
k＝
lim x0
13（2＋Δx）3＋Δx43－13×23＋43＝
第二课时 导数的几何意义
课标要求
素养要求
通过函数图象直观理解导数的几 通过学习导数与曲线的切线的关系，理解
何意义.
导数的几何意义，发展学生直观想象素养.
新知探究
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处 的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体 是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.