不等式恒成立问题经典例题
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2
令
f ( m ) m ( x 1) 2 x 1, m 2 , 2
2
由题意得：
f (2) 2 x 2 x 3 0
2
f (2) 2 x 2 x 1 0
2
所以
1 2
7
x
1 2
3
例2、若对于任意 p 2 ，不等式x px 1 2 x p 恒成立，
a 1
或
f a a a 2 0
2
所以 3 a 1
例1：不等式 x 2 ax 4 0 当 成立，求a的范围。
解： 令
f ( x ) x ax 4 , x (1 , 2 )
2
x (1 , 2 )
时恒
由题意得：
f 1 a 5 0 f 2 2 a 8 0
D
D
不等式 f a f x 在区间D上恒成立 f ( a ) f x m ax x D 或 f ( a ) f x 上限 x D
不等式 f ( a ) f x 在区间D上恒成立 f ( a ) f x m in x D 或 f ( a ) f x 下限 x D
2
求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：x 2 ( p 2 ) x p 1 0 令 f ( p ) ( x 1) p x 2 x 1, p 2, 2
2
由题意得：
f (2) x 4 x 3 0
2
f (2) x 1 0
所以
a 5
不等式恒成立问题的解题原理： 一元二次不等式 ax² +bx+c>0对任意实数x恒成立 一元二次不等式 ax² +bx+c<0对任意实数x恒成立
a 0 0 a 0 0
不等式 f x 0 在区间D上恒成立 f x m in 0 x D 或 f x 下限 0 x 不等式 f x 0 在区间D上恒成立 f x m ax 0 x D 或 f x 上限 0 x
例1：不等式x² -2ax+2≥a当x∈[-1,+∞)时恒成立，求a的范 围。 解：原不等式可化为：
x 2 ax a 2 0
2
令
f ( x ) x 2 ax a 2 , x 1 ,
2
f x 的图像开口向上，且对称轴为
xa
由题意得：
a 1 f 1 a 3 0
x m
m 1
由题意得：
m 0 f (0 ) 2 m 1 0
0 m 1
或
f (m ) m 2m 1 0
2
或
f (1) 2 0
所以
m
1 2
例2、若对于任意 2 m 2 ，不等式 2 x 1 m ( x 2 1 ) 恒成立，求实数x的取值范围 解：原不等式可化为： m ( x 1) 2 x 1 0
2
所以
x
3 2
17
或
x
5 2
17
例2、若对于任意 x 0 ,1 ，不等式 x 2 mx 2 m 1 0
2
来自百度文库
恒成立，求实数m的取值范围 解 : 令
f ( x ) x 2 m x 2 m 1, x 0,1
2
f ( x ) 的图像开口向上，且对称轴为
例2、若对于任意 a 1 ，不等式x 立，求实数x的取值范围 解：令
2
2
(a 4) x 2a 0
恒成
f ( a ) ( x 2 ) a x 4 x , a 1 ,1
由题意得：
f 1 x 5 x 2 0
2
f 1 x 3 x 2 0
由题意得：
a 2 f (0 ) 1 0 0
0 a 2 f ( a 2 1 2 a
2
或
0
a 2
1 2
)
或
4
f (
1 2
)
1 2
a
5 4
0
所以 a
5 2
2
由题意得：
1 m 0 f( ) m 0 2 4 4 1 1 11
1 m 0
或
f (2) 6m 9 0
所以
11 m
3 2
例2、若对于任意
m 2
，不等式(1
m ) x ( m 1) x 3 0
2
恒
成立，求实数x的取值范围
解： 原不等式可化为： ( x x ) m x x 3 0
恒
令
由题意得：
所以
或
例2、若对于任意 ，不等式 成立，求实数x的取值范围 解：令 由题意得：
恒
所以
或
例2、若对于任意
1 x 0, 2
，不等式 x 2 ax 1 0 恒成
立，求实数a的取值范围
解：令
f ( x ) x a x 1,
2
1 x 0, 2
2
所以
x 1
或
x 3
例2、若对于任意
x 2
，不等式(1
m ) x ( m 1) x 3 0
2
恒成立，求实数m的取值范围
解：若1-m=0即m=1时，原不等式可化为：3>0,适合题意。
若1-m≠0即m≠1时， 令
f ( x ) (1 m ) x ( m 1) x 3, x 2 , 2
2 2
令
f ( m ) ( x x ) m x x 3, m 2, 2
2 2
由题意得：
f (2) x 3 x 3 0
2
f (2 ) x x 3 0
2
所以
1 2
13
x
1 2
13
例2、若对于任意 ，不等式 成立，求实数x的取值范围 解：原不等式可化为：
不等式恒成立问题的一般步骤： （1）明确变量和参数（求谁的范围谁是参数，谁的范 围已知谁是自变量），合理变形（一次二次不等式的标 准形式或变量参数的分离式 ）。 （2） 构建函数,注意标明自变量范围。 （3)求函数的最值或限值，利用最值或限值构建关于参 数的不等式求出参数的范围。 注意事项： （1）形式上的一元二次不等式要对二次项系数等零不 等零进行讨论。 （2）指对不等式在底数不确定时要对底数进行讨论。 （3）如最值或限值总在定义域的两端点处产生时，不 必讨论。
令
f ( m ) m ( x 1) 2 x 1, m 2 , 2
2
由题意得：
f (2) 2 x 2 x 3 0
2
f (2) 2 x 2 x 1 0
2
所以
1 2
7
x
1 2
3
例2、若对于任意 p 2 ，不等式x px 1 2 x p 恒成立，
a 1
或
f a a a 2 0
2
所以 3 a 1
例1：不等式 x 2 ax 4 0 当 成立，求a的范围。
解： 令
f ( x ) x ax 4 , x (1 , 2 )
2
x (1 , 2 )
时恒
由题意得：
f 1 a 5 0 f 2 2 a 8 0
D
D
不等式 f a f x 在区间D上恒成立 f ( a ) f x m ax x D 或 f ( a ) f x 上限 x D
不等式 f ( a ) f x 在区间D上恒成立 f ( a ) f x m in x D 或 f ( a ) f x 下限 x D
2
求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：x 2 ( p 2 ) x p 1 0 令 f ( p ) ( x 1) p x 2 x 1, p 2, 2
2
由题意得：
f (2) x 4 x 3 0
2
f (2) x 1 0
所以
a 5
不等式恒成立问题的解题原理： 一元二次不等式 ax² +bx+c>0对任意实数x恒成立 一元二次不等式 ax² +bx+c<0对任意实数x恒成立
a 0 0 a 0 0
不等式 f x 0 在区间D上恒成立 f x m in 0 x D 或 f x 下限 0 x 不等式 f x 0 在区间D上恒成立 f x m ax 0 x D 或 f x 上限 0 x
例1：不等式x² -2ax+2≥a当x∈[-1,+∞)时恒成立，求a的范 围。 解：原不等式可化为：
x 2 ax a 2 0
2
令
f ( x ) x 2 ax a 2 , x 1 ,
2
f x 的图像开口向上，且对称轴为
xa
由题意得：
a 1 f 1 a 3 0
x m
m 1
由题意得：
m 0 f (0 ) 2 m 1 0
0 m 1
或
f (m ) m 2m 1 0
2
或
f (1) 2 0
所以
m
1 2
例2、若对于任意 2 m 2 ，不等式 2 x 1 m ( x 2 1 ) 恒成立，求实数x的取值范围 解：原不等式可化为： m ( x 1) 2 x 1 0
2
所以
x
3 2
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或
x
5 2
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例2、若对于任意 x 0 ,1 ，不等式 x 2 mx 2 m 1 0
2
来自百度文库
恒成立，求实数m的取值范围 解 : 令
f ( x ) x 2 m x 2 m 1, x 0,1
2
f ( x ) 的图像开口向上，且对称轴为
例2、若对于任意 a 1 ，不等式x 立，求实数x的取值范围 解：令
2
2
(a 4) x 2a 0
恒成
f ( a ) ( x 2 ) a x 4 x , a 1 ,1
由题意得：
f 1 x 5 x 2 0
2
f 1 x 3 x 2 0
由题意得：
a 2 f (0 ) 1 0 0
0 a 2 f ( a 2 1 2 a
2
或
0
a 2
1 2
)
或
4
f (
1 2
)
1 2
a
5 4
0
所以 a
5 2
2
由题意得：
1 m 0 f( ) m 0 2 4 4 1 1 11
1 m 0
或
f (2) 6m 9 0
所以
11 m
3 2
例2、若对于任意
m 2
，不等式(1
m ) x ( m 1) x 3 0
2
恒
成立，求实数x的取值范围
解： 原不等式可化为： ( x x ) m x x 3 0
恒
令
由题意得：
所以
或
例2、若对于任意 ，不等式 成立，求实数x的取值范围 解：令 由题意得：
恒
所以
或
例2、若对于任意
1 x 0, 2
，不等式 x 2 ax 1 0 恒成
立，求实数a的取值范围
解：令
f ( x ) x a x 1,
2
1 x 0, 2
2
所以
x 1
或
x 3
例2、若对于任意
x 2
，不等式(1
m ) x ( m 1) x 3 0
2
恒成立，求实数m的取值范围
解：若1-m=0即m=1时，原不等式可化为：3>0,适合题意。
若1-m≠0即m≠1时， 令
f ( x ) (1 m ) x ( m 1) x 3, x 2 , 2
2 2
令
f ( m ) ( x x ) m x x 3, m 2, 2
2 2
由题意得：
f (2) x 3 x 3 0
2
f (2 ) x x 3 0
2
所以
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x
1 2
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例2、若对于任意 ，不等式 成立，求实数x的取值范围 解：原不等式可化为：
不等式恒成立问题的一般步骤： （1）明确变量和参数（求谁的范围谁是参数，谁的范 围已知谁是自变量），合理变形（一次二次不等式的标 准形式或变量参数的分离式 ）。 （2） 构建函数,注意标明自变量范围。 （3)求函数的最值或限值，利用最值或限值构建关于参 数的不等式求出参数的范围。 注意事项： （1）形式上的一元二次不等式要对二次项系数等零不 等零进行讨论。 （2）指对不等式在底数不确定时要对底数进行讨论。 （3）如最值或限值总在定义域的两端点处产生时，不 必讨论。