高中物理竞赛辅导讲义-12.1欧姆定律

12.1欧姆定律

一、电阻的大小

1、电阻的计算式（欧姆定律）

U R I =

2、电阻的决定式（电阻定律）

l R S

ρ

= 微观解释：

电阻产生的原因，是定向移动的自由电子与原子核碰撞。 长度越长，碰撞概率越大 横截面积越大，碰撞概率越小 3、电阻率与温度的关系：

0(1)t ρρα=+

微观解释：

对于金属：温度高，分子热运动剧烈，碰撞概率大，电阻升高，α为正值 对于绝缘体：温度高，更多电子挣脱束缚，成为自由电子，电阻降低，α为负值

二、网络电阻的化简

1、利用电路的对称性进行折叠、翻转、合并拆分

（1）设网络电阻的两端点为A 和B 。AB 的这根对称轴两侧的对称是“完全对称”。

可以看成是两条支路并联，因此只需计算一条支路的电阻，并将总电阻除以2，相当于将原电路沿AB 折叠，电阻变粗，电阻值减半。

如果电阻就在对称轴上，相当于是中间一条支路上的电阻，则折叠过程中不受影响 （2）AB 中垂线的两侧具有不完全的对称性。

虽然电阻网络的分布是对称的，但是电路中电势的分布是不对称的，一边高一边低。 由这种不完全的对称性可以得到： <1>中垂线上各点电势相等

①等电势的点之间，可以用导线任意连接

②等势点间若存在电阻，则此支路上电流为0，可将此支路断开 <2>对称的支路上电流大小相等，因此可以将节点处的电路分离 2、利用电路的自相似性进行化简

弄清究竟谁和谁自相似

自相似性一般适用于半无限网络。 注意相似比的大小 3、等效电路

在不改变电路性质的情况下，可以对电路进行变形、翻转，导线可以伸缩移动（节点移动不能跨过电路元件），三维图形可以“压扁”为二维图形。 4、电流注入法

用均匀电阻线做成的正方形回路，如图，由九个相同的小正方形组成．小正方形每边的电阻均为r=8Ω．(1)在A 、B 两点问接入电池，电动势E=5.7V ，内阻不计，求流过电池的电流强度．(2)若用导线连接C 、D 两点，求通过此导线的电流(略去导线的电阻)．

电阻丝无限网络如图所示，每一段金属丝的电阻均为r ，试求A 、B 两点间的等效电阻R AB ．

由十二个相同的电阻连接成一个立方体框架，若每个电阻的阻值均为R 问从立方体八个顶点中的任意两个顶点测量时立方体的总电阻等于多少？

1. 三个相同的金属圈两两相交地焊接成如图所示的形状，若每一金属圈的原长电阻（即它

断开时测两端的电阻）为R ，试求图中A 、B 两点之间的电阻.

【解析】从图看出，整个电阻网络相对A 、B 两点具有上、下对称性，因此可上、下压缩成如图所示的等效简化网络，其中r 为原金属圈长度部分的电阻，即有:

r=R/4

图网络中从

A 点到O 点电流与从O 点到

B 点的电流必相同；从A ′点到O 点的电流与从O

点到B ′点电流必相同.因此可将O 点断开，等效成图所示简化电路.

A

B ′

A ′

A

继而再简化成如图所示的电路:

最后可算得: R AB =12

25512

r r r -+

=（） 即有R AB =5R/48.

如图所示，无限旋转内接正方形金属丝网络由一种粗细一致、材料相同的金属丝构成，其中每个内接正方形的顶点都在外侧正方形四边中点上．已知与最外侧正方形边长相同的同种金属丝A'B'的电阻为R 0，求网络中：

(1)A 、C 两端间等效电阻R AC ． (2)E 、G 两端间等效电阻R EG ．

例1. 如图所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为ρ，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取AB 边长为a ，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框

A

B ′

B

A ′

B ′

B

A ′

A

架上A 、B 两点间的电阻为多大？

从对称性考虑原电路可以用如图所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为

2

AB

R 的电阻器来代替由无数层“格子”所构成的“内”三角，并且电阻是RAB 这样的，AB x R R =，R αρ=因此

/2/2

()()/2/2

x x x x x RR RR R R R R R R R R R =+

⋅++++

解此方程得到：

1

1)3

AB x R R a ρ==

=

如图所示是一个由电阻丝构成的平面正方形无穷网络，各小段的电阻为R ，求A 、B 两点间的等效电阻.若将A 、B 间的一小段电阻丝换成电阻为4R 的另一小段电阻丝.试问换后A 、B 间的等效电阻是多少?

解析:设想内阻极大的电源加在A 和地(或无穷远)之间,使由A 点流进网络的电流为I ，则由对称性可知,流过AB 的电流为

4

I

.假设拆去此电源,在B 点和地(或无究远)之间加上另一内A

B

B

R

2/

阻极大的电源,使由B 点流出网络的电流强度为I,由对称性可知,流过AB 的电流仍为4

I

.若把上述电源同时加上,则由叠加原理可知,流过AB 的电流为442

I I I

+=.设AB 间的等效电阻为R AB ，所以：

2AB I IR R =⋅

2

AB R R =

外的其它电阻丝构成的网络的电阻为R0，则整个电阻可以看成是除A 、B 间电阻丝与R0的并联.则:

002

AB R R R

R R R =

=+

0R R =

当A 、B 间的一小段电阻丝换成电阻为4R 时,则:

004'0.84AB R R

R R R R

⋅=

=+.

有一无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示．所有六边形每边的电阻均为R 0． (1)求结点a 、b 间的电阻．

(2)如果有电流I 由a 点流入网络，由g 点流出网络，那幺流过de 段电阻的电流I de 为多大?

【解析】（1）设有电流I 自a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有3/I 电流由

a 流向c ，有6/I

电流由c 流向b .再假设有电流I 由四面八方汇集b 点流出，那么必有6

/I 电流由a 流向c ，有3/I

电流由c 流向b .

将以上两种情况综合，即有电流I 由a 点流入，自b 点流出，由电流叠加原理可知

263I

I I I ac =

+=

（由a 流向c ） 263I I I I cb =

+=

（由c 流向b ）

因此，a 、b 两点间等效电阻