双曲线简单几何性质知识点总结
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四、双曲线
一、双曲线及其简单几何性质
(一)双曲线的定义:平面内到两个定点F １,F ２的距离差的绝对值等于常数2a （0<2a ＜｜Ｆ１F ２｜)的点的轨迹
叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；｜F 1Ｆ2｜=2c,叫做焦距。
● 备注：① 当|ＰF １|-｜PF 2｜＝2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支(即右支)；
当|PF 2｜-｜ＰF 1｜=2ａ时,曲线仅表示左焦点Ｆ1所对应的双曲线的一支（即左支）；
② 当2a=｜F 1F 2|时,轨迹为以F 1，Ｆ2为端点的2条射线； ③ 当２a 〉｜F １F ２|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与122
22=-b
x a y （a>0，b 〉0）的区别和联系
（二）双曲线的简单性质
1.范围: 由标准方程122
22=-b
y a x （a 〉０，b ＞０），从横的方向来看,直线ｘ＝－a ，x ＝a 之间没有图象,从纵
的方向来看，随着x 的增大，ｙ的绝对值也无限增大。 ｘ的取值范围___＿____ ,y 的取值范围＿＿_＿__
2． 对称性： 对称轴____＿__＿ 对称中心________ ３.顶点:（如图） 顶点：__＿___＿_____
特殊点:＿______＿＿__＿
实轴:21A A 长为2a ， a 叫做半实轴长
虚轴：21B B 长为2b ，ｂ叫做半虚轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点
4.离心率:
双曲线的焦距与实轴长的比
a c
a c e =
=
22,叫做双曲线的离心率 范围：＿_＿__＿_＿＿＿＿___＿_＿_＿
双曲线形状与e 的关系:1122
222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大,即渐近线的斜率的绝对值就越大,
这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大,它的开口就越阔
5。双曲线的第二定义:
到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数
)0(>>=
a c a c
e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双
曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数ｅ是双曲线的离心率． 准线方程:
对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2
1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线
c a x l 2
2:=
； 6.渐近线
过双曲线122
22=-b y a x 的两顶点21,A A ,作ｘ轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作ｙ轴的垂线b y ±=，四条直线
围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是_______＿___＿或（0=±b y
a x ），这两条直线就是双曲
线的渐近线
双曲线无限接近渐近线,但永不相交。
7。等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线
性质:(1）渐近线方程为：x y ±=； (2)渐近线互相垂直； （３)离心率2=e
8.共渐近线的双曲线系
与双曲线122
22=-b y a x （a ＞0,b ＞0）共渐近线的双曲线方程可表示为λ=-2222b
y a x （λ≠0且λ为
待定常数）
●备注:与双曲线122
22=-b y a x (a>b 〉0)共焦点的双曲线方程可表示为1-222
2=+-λ