数值积分的matlab实现

实验10 数值积分

实验目的：

1．了解数值积分的基本原理； 2．熟练掌握数值积分的MATLAB 实现； 3．会用数值积分方法解决一些实际问题。

实验内容：

积分是数学中的一个基本概念，在实际问题中也有很广泛的应用。同微分一样，在《微积分》中，它也是通过极限定义的，由于实际问题中遇到的函数一般都以列表形式给出，所以常常不能用来直接进行积分。此外有些函数虽然有解析式，但其原函数不是初等函数，所以仍然得不到积分的精确值，如不定积分⎰1

0 d sin x x x

。这时我们一般考虑用数值方法计算其

近似值，称为数值积分。

10.1 数值微分简介

设函数()y f x =在*

x 可导，则其导数为

h

x f h x f x f h )

()(lim )(**0*

-+='→ （10.1）

如果函数()y f x =以列表形式给出（见表10-1），则其精确值无法求得，但可由下式求得其近似值

h

x f h x f x f )

()()(***

-+≈' （10.2）

表 10-1

x ……

y

……

一般的，步长h 越小，所得结果越精确。（10.2）式右端项的分子称为函数()y f x =在

*x 的差分，分母称为自变量在*x 的差分，所以右端项又称为差商。数值微分即用差商近似

代替微商。常用的差商公式为：

000()()

()2f x h f x h f x h +--'≈

（10.3）

h

y y y x f 243)(2

100-+-≈

' （10.4）

0x 1x 0y 1

y 2x 2y n

y n

x

h

y y y x f n

n n n 234)(12+-≈

'-- （10.5）

其误差均为2

()O h ，称为统称三点公式。

10.2 数值微分的MATLAB 实现

MATLAB 提供了一个指令求解一阶向前差分，其使用格式为： dx=diff(x)

其中x 是n 维数组，dx 为1n -维数组[]21321,,,n x x x x x x ---L ,这样基于两点的数值导数可通过指令diff(x)/h 实现。对于三点公式，读者可参考例1的M 函数文件diff3.m 。

例1 用三点公式计算()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值，()f x 的值由下表给x

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 )(x f

0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736

解：建立三点公式的M 函数文件diff3.m 如下：

function f=diff3(x,y) n=length(x);h=x(2)-x(1); f(1)=(-3*y(1)+4*y(2)-y(3))/(2*h); for j=2:n-1

f(j)=(y(j+1)-y(j-1))/(2*h); end

f(n)=(y(n-2)-4*y(n-1)+3*y(n))/(2*h);

在MATLAB 指令窗中输入指令：

x=[1.0,1.1,1.2,1.3,1.4];y=[0.2500,0.2268,0.2066,0.1890,0.1736];diff3(x,y)

运行得各点的导数值为：-0.2470，-0.2170，-0.1890，-0.1650，-0.0014。所以()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值分别为-0.2470，-0.1890和-0.0014。

对于高阶导数，MATLAB 提供了几个指令借助于样条函数进行求导，详细使用步骤如下： step1：对给定数据点（x,y ），利用指令pp=spline(x,y)，获得三次样条函数数据pp ，供后面ppval 等指令使用。其中，pp 是一个分段多项式所对应的行向量，它包含此多项式的阶数、段数、节点的横坐标值和各段多项式的系数。

step2：对于上面所求的数据向量pp ，利用指令[breaks,coefs,m,n]=unmkpp(pp)进行处理，生成几个有序的分段多项式pp 。

step3：对各个分段多项式pp 的系数，利用函数ppval 生成其相应导数分段多项式的系数，再利用指令mkpp 生成相应的导数分段多项式

step4：将待求点xx 代入此导数多项式，即得样条导数值。 上述过程可建立M 函数文件ppd.m 实现如下：

function dy=ppd(pp)

[breaks,coefs,m]=unmkpp(pp);

for i=1:m

coefsm(i,:)=polyder(coefs(i,:)); end

dy=mkpp(breaks,coefsm);

于是，如果已知节点处的值x,y ，可用下面指令计算xx 处的导数dyy ：

pp=spline(x,y),dy=ppd(pp);dyy=ppval(dy,xx);

例2 基于正弦函数sin y x 的数据点，利用三点公式和三次样条插值分别求导，并与解析所求得的导数进行比较。

解:编写M 脚本文件bijiao.m 如下：

h=0.1*pi;x=0:h:2*pi;y=sin(x); dy1=diff3(x,y);

pp=spline(x,y);dy=ppd(pp);dy2=ppval(dy,x); z=cos(x);

error1=norm(dy1-z),error2=norm(dy2-z) plot(x,dy1,'k:',x,dy2,'r--',x,z,'b')

运行得结果为：error1 =0.0666，error2 =0.0025，生成图形见图10.1。

图10.1 三点公式、三次样条插值与解析求导比较图

显然利用三次样条插值求导所得误差比三点公式求导小很多，同时由图2.15可知利用三次样条插值求导所得曲线与解析求导曲线基本重合，而三点公式在极值点附近和两个端点附近误差较大，其它点吻合的较好。

10.3 应用示例：湖水温度变化问题

问题：湖水在夏天会出现分层现象，其特点是接近湖面的水的温度较高，越往下水的温度越低。这种现象会影响水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类死亡。对某个湖的水温进行观测得数据见表10-2。

表10-2 某湖的水温观测数据

深度（m ） 0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2 温度（℃）

22.8

22.8

22.8

20.6

13.9

11.7

11.1

11.1

试找出湖水温度变化最大的深度。 1．问题的分析

湖水的温度可视为关于深度的函数，于是湖水温度的变化问题便转化为温度函数的导数问题，显然导函数的最大绝对值所对应的深度即为温度变化最大的深度。对于给定的数据，可以利用数值微分计算各深度的温度变化值，从而得到温度变化最大的深度，但考虑到所给