一元二次不等式恒成立问题资料讲解

微专题不等式

一元二次不等式恒成立问题

一、备考基础——查清

1、 解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：

一是函数性质法，借助相应的函数图像，构造含参数的不等式(组)；

二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题.

2、用函数思想研究方程和不等式是高考的热点之一，二次函数的图像位置与对应二次不等式的解集的范围相互联系，可相互转化，二次函数与一元二次不等式联系的核心是二次函数的图像，理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效果.

二、热点命题——悟通

考点1 形如f(x)≥0(x∈R)

例1、若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则常数a 的取值范围是________________．

[解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝1＋4a ≤0，

解得a ≤－14.

例2、不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )

A ．[－1，4]

B ．(－∞ ，－2]∪ [5，＋∞)

C ．(－∞ ，－1]∪ [4，＋∞)

D ．[－2，5]

[解析] [思路点拨] 由一元二次不等式大于0恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与x 轴没有交点；

方法一：原不等式可化为x 2－2x －a 2＋3a ＋5≥0，要使不等式对任意实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(－a 2＋3a ＋5)≤0，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，故选A .

方法二：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A .

考点2 形如f(x)≥0(x∈[a，b])

例3、设对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ＞0

B ．a ＞12

C ．a ＞14

D ．a ＞0或a ＜－12 [解析] [思路点拨]由二次不等式在给定区间上恒成立，转化为其相应的二次函数在给定区间上恒小于0。

设f(x)＝x 2＋ax －3a.

因为对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，

所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）<0，f （1）<0，即⎩

⎪⎨⎪⎧（－1）2－a －3a<0，12＋a －3a<0， 解得a>12，即实数a 的取值范围是a>12

，故选B . [总结反思]

(1)一元二次不等式在指定范围内恒成立(或者不等式在指定范围内恒成立)，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间．

(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式两端，则问题转化为求主元函数

的最值，进而求出参数范围.

考点3 形如f(x)≥0(参数m ∈[a ，b])

例4、已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，求x 的取值范围．

[思路点拨] 可把x 当作a 的系数，把原不等式化为关于a 的不等式，则原问题转化为一次函数在区间[－1，1]恒成立问题．

解：把原不等式化为 (x －2)a ＋x 2－4x ＋4＞0，

设 f(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f(a)可看成为关于a 的函数．

由f(a)>0对于任意的a ∈ [－1，1]恒成立，得

⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩

⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0， 解得x<1或x>3， 即x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．

[总结反思] 此类问题的求解有两种方法：

(1)直接求解，应用分类讨论思想；

(2)应用函数思想，以参数为主元，“反客为主”，构造关于参数的函数．

考点4 一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题

例5、若关于x 的不等式ax 2＋3x ＋c ≥0的解集为[1，2]，则a ＝________，c ＝________．

解析：由题意得方程ax 2＋3x ＋c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，

由根与系数的关系可得1＋2＝－3a ，1×2＝c a

，解得a ＝－1，c ＝－2. 例6、 设a>1，若x>0时，[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0恒成立，则a ＝________．

思路 本题若直接求解，需分类讨论，过程较复杂．可考虑根据不等式对应的函数f(x)、方程f(x)＝0和不等式f(x)≥0的关系，再构造两个函数，把不等式转化为两个函数图像在区间(0，＋∞)上的关系.

解析 设函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝ x 2－ax －1，则这两个函数图像都过定点P(0，－1)，问题可转化为两个函数在区间(0，＋∞)上的符号相同．

在函数y 1＝(a －1)x －1中，令y 1＝0，得x ＝1a －1

>0， 即函数y 1的图像与x 轴的交点坐标为M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a －1，0， 而函数y 2＝ x 2－ax －1的图像过点M ，则

⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1

－1＝0，解得a ＝0或a ＝32. 又a>1，所以a ＝32

. 三、迁移应用——练透

1．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．

[解析] (1)∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，∴Δ＝a 2－4×2a <0，解得0

2．函数f (x )＝ln(3x 2＋ax ＋1)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________

[解析]依题意，知3x 2＋ax ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝a 2－4×3×1<0，