直线与平面垂直的判定 ppt课件
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过三角形ABC的顶点A翻折纸片，得到折
痕AD，将翻折后的纸片竖起放在桌面上（BD、
DC与桌面接触） （1）折痕AD与桌面垂直吗? （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B
D
C
10
A
A
B
D
C
B
D
C
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边 上的高时，AD所在直线与桌面所在平
面 垂直。
11
1.有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面
上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面，
你同意他的说法吗？
2.由折痕AD⊥BC，翻折之后AD⊥CD ，AD⊥BD
发生变化吗？由此你能得到什么结论？
A
A
B
D
B
D
C
C
12
二、直线与平面垂直的判定定理
l
一条直线与一个平面内的两条
相交直线都垂直，则该直线
与此平面垂直。
b
A
符号语言：
a
la a ,l,b b,abA l
线线垂直 线面垂直
13
典型例题
例1 如图，已知 a//b,a，求证 b.
即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一 条也垂直于同一个平面
证明：在平面 内作
两条相交直线m，n．
a
因为直线 a，
根据直线与平面垂直的定义知
A
am,an.
m
又因为 b//a
所以 bm,bn.
又 m ,n ,m ,n 是两条相交直线，
线面垂直 线线垂直
2.过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。 3.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
8
提出 问题 问题: 如何将一张长方形贺卡直立于桌
面？由此，你能猜想出判断一条直线与一 个平面垂直的方法吗？ 猜想：一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
9
准备一块三角形纸片
条直线垂直于这个平面；④垂直于同一平面的两条直线平行。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.直线 l与平面 内的无数条直线垂直，则直线l与平面的关系
l A. 和平面 相互平行 C. l在平面 内
l B. 和平面 相互垂直
D.不能确定
（ D）
15
4.如图所示：在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC= 60 PA=AC=a, PB=PD= 2 a 求证：PA⊥面ABCD
所以 b.
b
n
14
1.直线a与直线b垂直，直线b⊥平面 则直线a与平面 的位置
关系是（ D）A.a⊥ B.a∥ C.a D.a或a∥
2.以下四个命题中，真命题的个数为（ B ）
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直
线和这个平面互相垂直；②过空间一点有且只有一条直线和一
个平面垂直；③一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这
α
直线l与平面α垂直时，它们惟一 的公共点P叫做垂足。
注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的 平行四边形的一边垂直。
6
思考：
如果一条直线垂直于一个平面内的
无数条直线，那么这条直线是否与这个
平面垂直？
b
（否）
a
α
上述问题中“无数条直线”改为“所有直线”呢？
（是） 7
1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线就垂直于这个平面内的任何一条直线。
解析：利用勾股定理得线线垂直，再由判 P 定定理得线面垂直。
证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC= 60
∴AB=AD=AC=a
A
在△PAB中，由 P2A A2B 2 a2P2B
知PA⊥AB
同理，PA⊥AD.
B
D C
∴PA⊥平面ABCD
16
4
提出
α
问题
A
B
思考： 如何定义一条直线与
一个平面垂直呢？
讨论： 能否根据一条直线与一个平
面内的直线的垂直关系来确定这 条直线与这个平面垂直呢？
5
一、直线与平面垂直的定义
如果直线 l与平面α内的任意一条直线都垂直，
就说直线 l与平面α互相垂直。
l
记作：l ⊥α
直线l叫做平面α的垂线
P
平源自文库α叫做直线 l 的垂面
2.3.1直线与平面垂直的判定（一）
1
观察下面生活中的现象，说出旗杆与地面是怎样的位置关系？
旗杆与底面垂直 2
桥柱与水面是怎样的位置关系？
桥柱与水面垂直
3
太阳
随着太阳的移动，旗杆AB的影子BC始终与旗杆垂直。
旗杆 A
C’
C
B B’
旗杆AB所在的直线与地面 内任意一条过点B（或不过 点B）的直线都垂直。
痕AD，将翻折后的纸片竖起放在桌面上（BD、
DC与桌面接触） （1）折痕AD与桌面垂直吗? （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B
D
C
10
A
A
B
D
C
B
D
C
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边 上的高时，AD所在直线与桌面所在平
面 垂直。
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1.有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面
上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面，
你同意他的说法吗？
2.由折痕AD⊥BC，翻折之后AD⊥CD ，AD⊥BD
发生变化吗？由此你能得到什么结论？
A
A
B
D
B
D
C
C
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二、直线与平面垂直的判定定理
l
一条直线与一个平面内的两条
相交直线都垂直，则该直线
与此平面垂直。
b
A
符号语言：
a
la a ,l,b b,abA l
线线垂直 线面垂直
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典型例题
例1 如图，已知 a//b,a，求证 b.
即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一 条也垂直于同一个平面
证明：在平面 内作
两条相交直线m，n．
a
因为直线 a，
根据直线与平面垂直的定义知
A
am,an.
m
又因为 b//a
所以 bm,bn.
又 m ,n ,m ,n 是两条相交直线，
线面垂直 线线垂直
2.过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。 3.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
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提出 问题 问题: 如何将一张长方形贺卡直立于桌
面？由此，你能猜想出判断一条直线与一 个平面垂直的方法吗？ 猜想：一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
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准备一块三角形纸片
条直线垂直于这个平面；④垂直于同一平面的两条直线平行。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.直线 l与平面 内的无数条直线垂直，则直线l与平面的关系
l A. 和平面 相互平行 C. l在平面 内
l B. 和平面 相互垂直
D.不能确定
（ D）
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4.如图所示：在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC= 60 PA=AC=a, PB=PD= 2 a 求证：PA⊥面ABCD
所以 b.
b
n
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1.直线a与直线b垂直，直线b⊥平面 则直线a与平面 的位置
关系是（ D）A.a⊥ B.a∥ C.a D.a或a∥
2.以下四个命题中，真命题的个数为（ B ）
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直
线和这个平面互相垂直；②过空间一点有且只有一条直线和一
个平面垂直；③一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这
α
直线l与平面α垂直时，它们惟一 的公共点P叫做垂足。
注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的 平行四边形的一边垂直。
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思考：
如果一条直线垂直于一个平面内的
无数条直线，那么这条直线是否与这个
平面垂直？
b
（否）
a
α
上述问题中“无数条直线”改为“所有直线”呢？
（是） 7
1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线就垂直于这个平面内的任何一条直线。
解析：利用勾股定理得线线垂直，再由判 P 定定理得线面垂直。
证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC= 60
∴AB=AD=AC=a
A
在△PAB中，由 P2A A2B 2 a2P2B
知PA⊥AB
同理，PA⊥AD.
B
D C
∴PA⊥平面ABCD
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4
提出
α
问题
A
B
思考： 如何定义一条直线与
一个平面垂直呢？
讨论： 能否根据一条直线与一个平
面内的直线的垂直关系来确定这 条直线与这个平面垂直呢？
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一、直线与平面垂直的定义
如果直线 l与平面α内的任意一条直线都垂直，
就说直线 l与平面α互相垂直。
l
记作：l ⊥α
直线l叫做平面α的垂线
P
平源自文库α叫做直线 l 的垂面
2.3.1直线与平面垂直的判定（一）
1
观察下面生活中的现象，说出旗杆与地面是怎样的位置关系？
旗杆与底面垂直 2
桥柱与水面是怎样的位置关系？
桥柱与水面垂直
3
太阳
随着太阳的移动，旗杆AB的影子BC始终与旗杆垂直。
旗杆 A
C’
C
B B’
旗杆AB所在的直线与地面 内任意一条过点B（或不过 点B）的直线都垂直。