数学物理方法5.2 留数
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sin 1 ：当z 0时，此函数不存在极限 z
方法三：f(z)的m级极点是1/f(z)的m级零点。
1 z(z2 1)2
留数
留数的定义
z0是函数f(z)的一个孤立奇点，c是包含z0的任意 闭曲线，且c只包含z0一个奇点，定义
1
Res[ f (z), z0 ] 2i
f (z)dz
c
为函数f(z)在z0处的留数。
数学物理方法5.2 留数
孤立奇点的分类
孤立奇点处的函数极限 可去奇点（常数），极点（无穷大），本性奇点（无极限）
零点
例：函数f(z)=z(z-1)3的零点有哪些？
例：函数f(z)=sin(z)+cos(z)的零点有哪些？并判 断它们是几级零点。 零点有(k-1/4)π, k是整数，属于2级零点
零点和极点的关系
2iRes[ 1/ 1 ,0] 1/ 4 1 2
2i
k
1
Res[
f
( z ),
zk
]
2iRes[
f
(
z ), ]
2iRes[
1
4
,0]
0
无穷远点留数的计算和应用
提示：C 2iRes[ f (z),i] 2iRes[ f (z),1]
2iRes[ f (z),3] 2iRes[ f (z), ]
孤 立 2、n级极点的留数： 奇 点
3、本性奇点的留数：展开罗朗级数，取负1次幂项的系数
例1：
f
(
z)
e
z
z
1在z=0处的留数。
例2：
f
(
z)
sin z3
z
在z=0处的留数。
例3： f (z) e1/z 在z=0处的留数。
留数定理 闭曲线积分与留数的关系
本质上，留数定理是复合闭路定理的另一种形式。 那么，闭曲线上函数积分转化为留数的求解。
2 4!
2 4!
无穷远点的留数
相 反 数 注意到：（留数定理） 当c包含了有限个孤立奇点，留数总和为
无穷远点留数的计算和应用
例：
解：积分函数有有限个孤立奇点，都分布在积分圆周内，根据扩充
复平面留数总和等于0，可得
C
z z4 1 dz
4
2i
4 k 1
Res[
f
( z ),
zk
]
2iRes[ f (z),] 2iRes[ f ( 1 ) 1 ,0] 2
例：求函数指定点的留数
1 z(z 1)
在z=0和z=1处的留数
e1/ z 在z=0处的留数 无法直接积分，需要讨论
留数的更一般求解方法
留数和罗朗级数的关系
取n=-1
Res[
f
( z ),
z0 ]
1
2i
c f (z)dz c1
如Res[e1/ z ,0] 1
留数的求解方法
1、可去奇点的留数：可去奇点处的罗朗级数没有 负幂项，因而，可去奇点的留数必为0.
注释： 无穷远点的留数有限孤立奇点的留数总和 求某些特殊的闭曲线积分（被积函数分母的幂次较 高）。
作业
• 习题五，pp124－125 • T6，T7
留数及其计算方法
留数的定义：
z0是函数f(z)的一个孤立奇点，c是包含z0的任意闭曲
线，且c只包含z0一个奇点，定义
1
Re s[ f (z), z0 ] 2i
f (z)dz
c
为函数f(z)在z0处的留数。
留数的计算方法：
方法一：根据定义计算：
1
柯西积分公式，高阶导数公式 z(z 1)
方法二：根据留数和罗朗级数的关系：1
1 sin z 1 sin[ / 2 (z / 2)] 1 / 2 (z / 2)
1 cos(z / 2)
1 /2 2 4 o(
4)
cn
n2
n
2 4!
1 /2 2 4 o(
4)
, 其中
z
/
2
2
2
c1 1
2 4!
c1 2
1 /2
根据留数定理，所求为-4πi
[ 2
2
留数＝c-1
2i
e1/ c
z
dz
1 1 z
2i
c1
sin
dz z
方法三：已知孤立奇点为n级极点的情况下
1 1 z
2i c1 sin zdz
例1： 例2：
应用留数定理求积分
C为圆周|z|=3，取正向
例3：
1 z4 cez sin zdz
C为圆周|z|=3，取正向
c
1 ez
z4 sin z
dz
2iRes[
1 ez
z4 sin z
,0]
2i
1 (ez
z4 sin z
)'
|z0
2i
用留数定理求积分
例4：
C为圆周|z|=3，取正向
提示1：采用罗朗级数，只须求负1次幂项的系数。
解：被积函数在C及其内部只有一个奇点z=π/2，且为2级极点
1 z 1 / 2 (z / 2) 假设被积函数罗朗展式为
简言之：f(z)的m级极点是1/f(z)的m级零点。
例：指出下列函数的极点，说明它们是几级的？
1 z(z2 1)2
1 z3 z2 z 1
z (1 z2 )(1 ez )
复习：孤立奇点类型的判别法
方法一：根据罗朗级数判断
sin 1 1 1 1 .... z z 3!z3 5!z
方法二：根据极限判断
4
4!
o( 4 )](c2 2
c1 1
c0
c1 1
...)
用留数定理求积分
例4：
C为圆周|z|=3，取正向
提示2：已知为2级零点的情况下，采用高阶导数公式
I
c
1
2
/2 4 o(
4
)
dz,
其中
z /2
2 4!Biblioteka c2[1 1
/
2
2 o(
2
d
)]
2i d d
1 /2 1 2 o( 2 ) | 0
方法三：f(z)的m级极点是1/f(z)的m级零点。
1 z(z2 1)2
留数
留数的定义
z0是函数f(z)的一个孤立奇点，c是包含z0的任意 闭曲线，且c只包含z0一个奇点，定义
1
Res[ f (z), z0 ] 2i
f (z)dz
c
为函数f(z)在z0处的留数。
数学物理方法5.2 留数
孤立奇点的分类
孤立奇点处的函数极限 可去奇点（常数），极点（无穷大），本性奇点（无极限）
零点
例：函数f(z)=z(z-1)3的零点有哪些？
例：函数f(z)=sin(z)+cos(z)的零点有哪些？并判 断它们是几级零点。 零点有(k-1/4)π, k是整数，属于2级零点
零点和极点的关系
2iRes[ 1/ 1 ,0] 1/ 4 1 2
2i
k
1
Res[
f
( z ),
zk
]
2iRes[
f
(
z ), ]
2iRes[
1
4
,0]
0
无穷远点留数的计算和应用
提示：C 2iRes[ f (z),i] 2iRes[ f (z),1]
2iRes[ f (z),3] 2iRes[ f (z), ]
孤 立 2、n级极点的留数： 奇 点
3、本性奇点的留数：展开罗朗级数，取负1次幂项的系数
例1：
f
(
z)
e
z
z
1在z=0处的留数。
例2：
f
(
z)
sin z3
z
在z=0处的留数。
例3： f (z) e1/z 在z=0处的留数。
留数定理 闭曲线积分与留数的关系
本质上，留数定理是复合闭路定理的另一种形式。 那么，闭曲线上函数积分转化为留数的求解。
2 4!
2 4!
无穷远点的留数
相 反 数 注意到：（留数定理） 当c包含了有限个孤立奇点，留数总和为
无穷远点留数的计算和应用
例：
解：积分函数有有限个孤立奇点，都分布在积分圆周内，根据扩充
复平面留数总和等于0，可得
C
z z4 1 dz
4
2i
4 k 1
Res[
f
( z ),
zk
]
2iRes[ f (z),] 2iRes[ f ( 1 ) 1 ,0] 2
例：求函数指定点的留数
1 z(z 1)
在z=0和z=1处的留数
e1/ z 在z=0处的留数 无法直接积分，需要讨论
留数的更一般求解方法
留数和罗朗级数的关系
取n=-1
Res[
f
( z ),
z0 ]
1
2i
c f (z)dz c1
如Res[e1/ z ,0] 1
留数的求解方法
1、可去奇点的留数：可去奇点处的罗朗级数没有 负幂项，因而，可去奇点的留数必为0.
注释： 无穷远点的留数有限孤立奇点的留数总和 求某些特殊的闭曲线积分（被积函数分母的幂次较 高）。
作业
• 习题五，pp124－125 • T6，T7
留数及其计算方法
留数的定义：
z0是函数f(z)的一个孤立奇点，c是包含z0的任意闭曲
线，且c只包含z0一个奇点，定义
1
Re s[ f (z), z0 ] 2i
f (z)dz
c
为函数f(z)在z0处的留数。
留数的计算方法：
方法一：根据定义计算：
1
柯西积分公式，高阶导数公式 z(z 1)
方法二：根据留数和罗朗级数的关系：1
1 sin z 1 sin[ / 2 (z / 2)] 1 / 2 (z / 2)
1 cos(z / 2)
1 /2 2 4 o(
4)
cn
n2
n
2 4!
1 /2 2 4 o(
4)
, 其中
z
/
2
2
2
c1 1
2 4!
c1 2
1 /2
根据留数定理，所求为-4πi
[ 2
2
留数＝c-1
2i
e1/ c
z
dz
1 1 z
2i
c1
sin
dz z
方法三：已知孤立奇点为n级极点的情况下
1 1 z
2i c1 sin zdz
例1： 例2：
应用留数定理求积分
C为圆周|z|=3，取正向
例3：
1 z4 cez sin zdz
C为圆周|z|=3，取正向
c
1 ez
z4 sin z
dz
2iRes[
1 ez
z4 sin z
,0]
2i
1 (ez
z4 sin z
)'
|z0
2i
用留数定理求积分
例4：
C为圆周|z|=3，取正向
提示1：采用罗朗级数，只须求负1次幂项的系数。
解：被积函数在C及其内部只有一个奇点z=π/2，且为2级极点
1 z 1 / 2 (z / 2) 假设被积函数罗朗展式为
简言之：f(z)的m级极点是1/f(z)的m级零点。
例：指出下列函数的极点，说明它们是几级的？
1 z(z2 1)2
1 z3 z2 z 1
z (1 z2 )(1 ez )
复习：孤立奇点类型的判别法
方法一：根据罗朗级数判断
sin 1 1 1 1 .... z z 3!z3 5!z
方法二：根据极限判断
4
4!
o( 4 )](c2 2
c1 1
c0
c1 1
...)
用留数定理求积分
例4：
C为圆周|z|=3，取正向
提示2：已知为2级零点的情况下，采用高阶导数公式
I
c
1
2
/2 4 o(
4
)
dz,
其中
z /2
2 4!Biblioteka c2[1 1
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2
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1 /2 1 2 o( 2 ) | 0