第二章 双曲型方程

泛定方程的两条特征线所夹成（如图2.2）．
ⅱ>△ ABC 内任一点的依赖区间完全落在区间 内每一点的值，因此，把△ 图2.3）．
BC 内，亦即线段 BC
上的初值函数的值完全决定了初值问题(2.1.1)的解
u ( x, t ) 在△ ABC
ABC （域I）叫做线段 BC
的决定区域（见
ⅲ>.如图2.4,区域II内每一点处解u ( x, t ) 的值，都要受到初值函数在点
2.其它定解问题：
一般的，对双曲型方程而言，可用“决定任意函数法”求解的定解问题 大 体上归结为如下四种：
第一问题（特征问题或Goursat问题）——在两条不同族的特征线上
给定未知函数
u 的值的定解问题.例如：
第二问题（初值问题或Cauchy问题）——在一条曲线上给定未知函 数
u
,
u （ 的方向不与这条曲线相切）的值的定解问题. 例如：
故 u( x, y)
f1 ( x 2 y ) f 2 ( x 2 y )
x2 y x2 y 1 ( ) f 2 (0) 2 ( x 2 y ) 1 ( ) f 2 (0) 2 2 x2 y x2 y 1 ( ) 2 ( x 2 y ) 1 ( ). 2 2
记 为单位球面： 2 2 2 1,并注意到 d at S (at ) 2 d, 便知
(2.2.4)’
定理1 函数
（2.2.5） 满足初值问题(2.2.3).
t 证明 ( x, y , z ) u 4
( x, y, z ) ( x at, y at, z at )d
第二章 双曲型方程
内 容 要 求
§2.1 弦振动方程的初值问题—— 决定任意函数法 §2.2 高维波动方程初值问题—— Poisson平均值法与降维法 习题课二 §2.3 波动方程混合问题—— 分离变量法 §2.4 能量积分——唯一性与稳 定性 习题课三
①理解决定任意函数法; ②掌握降维法与分离变量法； ③明确有关的物理解释； ④理解能量积分讨论唯一性与稳定 性的思想.
u v 1 v , t t 4
[a a a ] d a[ ] d SM
at
1 4 (at) 2
M M S D Gauss公式： 记 a t 所围球体为 a t :
[ ( , , ) ddd ] t D M
at
d dd
最后给出无界弦强迫振动
的解的表达式为
u tt a 2 u xx f ( x, t ), (t 0) u t 0 ( x), u t t 0 ( x)
x at t x a ( t )
1 1 1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d d f ( , )d . 2 2a x at 2a 0 x a (t )
( x0 ,0) 处的值的影响，因此，把区域 II 叫做点 ( x0 ,0) 的影响区域.而
区间 [ x1 , x2 ] 的影响区域则是由过此两点的特征线与该区间所围成的倒梯形 区域III(见图2.5).
附注
a.无界弦自由振动是左右行进波的叠加，因此，这种方法也叫行波法； b.从依赖区间、决定区域、影响区域看到，解决无界弦自由振动问题， 特征线是至关重要的，因而这种方法也叫特征线法.
第三问题（达布问题）——在一条特征线和一条非特征线上给定未知数 的值的定解问题. 例如：
u
第四问题——在同一特征角（指由两条不同族的特征线所组成的角）内的 两条非特征线上给定未知函数 的值的定解问题.例如：
u
特征线族：
x 常数，y 常数
可以证明：双曲型方程的如上四种定解问题都是适定的（即问题的提法都是 正确的）．
( x) 2 ( y) 2 ( z ) 2 (at ) 2 a d dd 2 ( , , ) 4 (at ) D M
at
u 1 ( , , ) d dd , t 4 at D M
at
(2.2.6)
2u 1 u 1 1 2 u 2 t t t t 4 at 2
§2.2 高维波动方程初值问题 —— Poisson的球面平均值法与Hadamard的降维法
1．Poisson公式与解的存在性：
以下就三维齐次波动方程初值问题
(2.2.1)
来求解. (1)预处理：(2.2.1)的解可表为 其中 (2.2.2)
u[ ] 是初值问题
(2.2.3)
的解.
因而关键是求问题(2.2.3)的解
u tt a 2 u xx 0, (t 0), （如图2.6）其中 (0) (0), 例1 求解特征问题 u x at ( x), （相容性条件） u x at ( x). 解 u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ). 由定解条件
x at
故
u ( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) x at x at ( ) ( ) [ f1 (0) f 2 (0)]. 2 2
(0) (0)
x 2 y 解令 可将方程化成 x 2 y
形如
Leabharlann Baidu
f ( x at )
t2
的函数在物理上称为行波， 波速为 则在时刻
a. 以 f ( x at )为例：
f ( x1 at1 )
设给定波形 到了时刻
f ( x),
t1
，点
x1
处的波形为
，我们说 时刻
t1 ，点 x1
，则应有
处的波形传到了
x2
，
，即
f ( x2 at 2 ) f ( x1 at1 )
x
积分(2.1.5),得
由(2.1.4),(2.1.6)得
1 1 c g ( x) ( x) ( )d . 2 2 a x0 2
x
故问题(2.1.1)的形式解为
u ( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
1 1 ( x at ) 2 2a
积分之，得
x at c1 ,
x at c2 .
作代换
则方程(2.1.1)化成
u 0.
(2.1.2)
积分之,得
u f ( ) g ( ),
(2.1.3) (2.1.4) (2.1.5) (2.1.6)
u ( x, t ) f ( x at ) g ( x at ), （称为D’Alembert解）
u[ ].
(2)求(2.2.3)的解：
( x, y, z ) C 2，考虑 ( x, y, z ) 在以 M ( x, y, z )为心，at M 上的平均值 为半径的球面 S at
设 (2.2.4) 其中
M 上的点. ( , , ) 是球面 S at
若
S
M at 的外法线方向（也就是半径的）方向余弦为 ( , , ) ，则
由于 a
x2 at2 x1 at1 , 即 x2 x1 a(t2 t1 ),
0，因而函数 f ( x at )
即表示以速度
a
向右传播的波．
同理，函数
f ( x at ) 表示以速度
a
向左传播的波.
因此，无界弦的自由振动是左右行进波的叠加，因而所述方法也称行波法. ②依赖区间、决定区域、影响区域： 从D’Alembert公式看出：
称为D’Alembert公式.
(2)适定性考查：
①存在性——若
( x) C 2 , ( x) C 1 ，则可直接验证(2.1.7)确实是
初值问题(2.1.1)的解.（自做之）
②唯一性与稳定性（ⅰ>能量模估计：姜礼尚《数学物理方程讲义》 PP47-53;ⅱ>或西北大学《偏微分方程》P34; ⅲ>本章§2.4统一处理）．
u 0, 从而 u f1 ( ) f 2 ( ).
于是
u( x, y) f1 ( x 2 y ) f 2 ( x 2 y ).
X f1 ( X ) 1 ( 2 ) f 2 (0), f1 (2 x) f 2 (0) 1 (0), f 2 (Y ) 2 (Y ) f1 (Y ) 由定解条件： f1 ( x) f 2 ( x) 2 ( x). Y 2 (Y ) [1 ( ) f 2 (0)]. 2
由初始条件，得
u t 0 f ( x) g ( x) ( x), ut t 0 a[ f ( x) g ( x)] ( x),
1 f ( x) g ( x) ( )d c, a x0 x 1 1 c f ( x) ( x) ( )d , 2 2a x0 2

2 2 2 2 2 2 , 2 2, 2 , 2 2 x x x y z 2 ( x , y , z ) ( , , )
t 4
d,
( , , )
u v vt t t
即
x at
c 1 1 ( ) d ( x at ) 2 2 2a x0
x at
x at
x0
( )d ,
(2.1.7)
c 2
1 1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x at
(3)D’Alembert公式的物理解释：
①行波（传播波） 1 ( ) ( )d ，则(2.1.7)可写成 若记 a x0
1 1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] [ ( x at ) ( x at )] 2 2
ⅰ>初值问题(2.1.1)的解
u ( x, t ) 在 x t上半平面内任一点 A( x0 , t 0 )的值
BC 上的值. u ( x0 , t 0 ) 仅仅依赖于初值函数在 t 0( x 轴)上的区间（或线段） 把 BC 或 [ x0 at0 , x0 at0 ] 叫做点 A( x0 , t 0 )的依赖区间， 它由过点A( x0 , t 0 )
1 u xx yu yy 2 u y 0, ( y 0), （如图2.9）其中 例2 求解第三问题 u x 2 y 1 ( x), ( x 0), 1 (0) 2 (0). u y 0 2 ( x), ( x 0).
u u
x at
f1 (2 x) f 2 (0) ( x), f1 (0) f 2 (2 x) ( x).
X f1 ( X ) ( ) f 2 (0), 2 Y f 2 (Y ) ( ) f1 (0). 2
——“函数方程组”
§2.1弦振动方程的初值问题——决定任意函数法 1.无界弦的自由振动
(2.1.1)
(1)求形式解（先求泛定方程包含任意函数的解，再由定解条件决定
任意函数）： 把(2.1.1)化成容易积分的形式，方程(2.1.1)的特征方程为
(dx) a (dt) 0
2 2 2
即
(dx adt)(dx adt) 0.