初中数学中的概念教学复习课件.ppt
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*与生俱来的抽象性 *彻底的追根溯源——公理（常识） *严密的“关系”网——结构（主体与客体）
演示课件
数学概念的教学 原则：回归数学（思想、内容与方法） 方法：趣味性，活动性，探索性，故事性，
发展性
*回归数学：历史与现代（数学教师的专业素 养与职业价值） *尊重学生：故事，游戏，活动
演示课件
回归数学：数学与数学教育的价值
演示课件
“数”的起源
数的表示 不可公度，“无理”的 2 ： 可以接受1/3是3倍之后等于1的数，不能接
受 2 是平方之后等于2的数——比或比例 的几何直观对思想的约束！
问题： 2 的计算。 *无限循环小数与无限不循环小数 *
演示课件
“数”的起源
2 是无理数的无字证明：
演示课件
“数”的起源
现实的 2 ：
演示课件
“数”的起源
“多少”的数——基数 “顺序”的数——序数（归纳法、Peano公理 ） 度量的数——长度、面积（分数、无理数） 计算的数——运算、方程（负数、无理数、虚 数）
演示课件
“数”ห้องสมุดไป่ตู้起源
数的表示 数制——十进制（手指计数） 进位制：整数和小数
O
1
2
“实在”的意义：最基础的“数”的记号被无
数的表示 实数的完备性——“几何实在性”的终结！ 虚数——“虚妄”的数！ i不需要再有计算的问题——运算“完备性
” 复数——“平面的数” 四元数——“空间的数” 扩张与因袭——代数学的解放
演示课件
基数与序数概览
一些代数学概念的简单回顾 1.Descartes 积 AB = {(a,b)|a A, b B} 2.关系 AB的任意子集成为从A到B的关系。 3. 映射、单射、满射、1-1映射、逆映射
演示课件
基数与序数概览
一些代数学概念的简单回顾 1.Descartes 积 AB = {(a,b)|a A, b B} 2.关系 AB的任意子集成为从A到B的关系。 3. 映射、单射、满射、1-1映射、逆映射
演示课件
基数与序数概览
一些代数学概念的简单回顾 4.二元关系 5.等价关系与分类 等价关系：反身性、对称性、传递性 6. 偏序与偏序集 偏序关系：反身性、反对称性、传递性 偏序集、偏序集的同态与同构 偏序集表示定理*
形中赋予实在的意义，比如十进制中的0，1，2，
…，9。
演示课件
“数”的起源
数的表示 分数的“好运气”： 分数也并不总是有着最直接的实在的意义，
比如十进制的1/3，无限循环小数实际上描述 了一个无限的过程，但这一“实在”被想当 然的接受，“1/3”作为一个独立的记号意义 也没有受到质疑，这也许是比或比例的几何 直观意义带来的效果。
演示课件
什么是数学概念 一个小调查： 在初中数学范围内，我们认为是数学概 念的…… 怎样概括出“数学概念”的概念……
演示课件
什么是数学概念
概念：心理学名词。由同类多数事物 之诸项知觉所构成之普通观念，谓之 概念。伦理学上之概念即族类特性之 定义，必须涵括同一族类观念，对于 族类之属性所知愈多，则其概念愈近 于论理的。概念之构成，含有比较、 抽析、判断、综合诸作用。
美的数学要有适应人的发展特点的适当方式， 这需要以研究为基础的创造；
兴趣与好奇心是儿童学习的内部动力，游戏与 探索性活动是引起兴趣与好奇心的最有效的形 式。
演示课件
初中数学概念教学主题
数的系统：自然数、整数、有理数与无理数 及其运算与大小关系（序）
形的系统：点、线（线段、射线、直线），
与相似
三角形、四边形、多边形，全等
度量的系统：长度、面积与体积，角度，数 轴与坐标系
Cogito, er演go示s课u件m
“数”的起源
数是可以用来运算，并与客观事物相联系的一些 记号。 数“数”：建立事物与{1，2，3，…}联系的过程 （1-1映射）。 测量（几何学的概念）：单位+相等 数“数”的过程中蕴含着“多少”和“顺序”两 个概念。
——中华书局1981年1月第一版（据1936年 版缩印），在上册1546页。
演示课件
什么是数学概念 概念：类属性的概括、抽象 对象性（实体）与过程性（关系） 抽象的实体是认识的最终目标，具体
的关系是形成实体的基础。
演示课件
什么是数学概念
数学：数量关系与空间形式（模式与 秩序）
关于数量关系与空间形式的实体： 数的系统，形的系统 两者之间的联系：度量的系统
将一张A4纸沿着长边的2个中点对折，将得 到2个小长方形，小长方形的长与宽之比与 A4纸相同.
演示课件
“数”的起源
❖ 数的表示 *无限循环小数与无限不循环小数 * 1. 实数的实在性; 2. 实数的本质——有限与无限的辩证法。 思考：“ 2 的计算”、“的计算” 等说法的隐喻。
演示课件
“数”的起源
演示课件
基数与序数概览
有理数的可数性：有理数之树
演示课件
基数与序数概览
基数与序数 例4. [0，1] （0，1） 例5.（0，1） R 例6. 实数集是不可数集 基数的比较 Cantor定理
演示课件
Cogito,ergo suo
初中数学中的概念教学
哲学、理论与实践的思考
李建华 北京师范大学
2015.11
辛钦《数学分析简明教程》序
我想尽力做到一点，即使得在引进新 概念与监理新理论时，学生先有准备 ，能够尽可能地看出这些新概念、新 理论的引进是很自然的，甚至是不可 避免的。我认为只有利用这种方法， 在学生方面才能对于所学的东西产生 真正的兴趣，才能非形式化地理解与 掌握所学到的东西。
演示课件
基数与序数概览
一些代数学概念的简单回顾 7.二元运算与代数系 二元运算、代数系 （1）群胚与半群 （2）群、环与域 （3）代数系的同态与同构
嵌入*
演示课件
基数与序数概览
基数与序数 1.基数与无限集 基数的概念 例1. N={0,1,2,…,n,…},E={0,2,4,…,2n,…} 例2. N N N 例3. Q N 有限集与无限集 无限集的特征 可数集
数学至高至善价值的认同； 数学不仅仅是逻辑、语言、工具，更
是人类文明最高形式的表现之一，是 文化的组成部分； 教育的终极目标是使每一个人理解生 命的价值和意义，数学是通向这一目 标的独特通道。
演示课件
尊重学生：以敬畏之心努力营造环境
儿童是天生的学习家，学习是儿童与生俱来的 能力，使儿童浸淫在美的数学环境中，将最大 限度的激发出儿童的数学潜能；
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数学概念的教学 原则：回归数学（思想、内容与方法） 方法：趣味性，活动性，探索性，故事性，
发展性
*回归数学：历史与现代（数学教师的专业素 养与职业价值） *尊重学生：故事，游戏，活动
演示课件
回归数学：数学与数学教育的价值
演示课件
“数”的起源
数的表示 不可公度，“无理”的 2 ： 可以接受1/3是3倍之后等于1的数，不能接
受 2 是平方之后等于2的数——比或比例 的几何直观对思想的约束！
问题： 2 的计算。 *无限循环小数与无限不循环小数 *
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“数”的起源
2 是无理数的无字证明：
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“数”的起源
现实的 2 ：
演示课件
“数”的起源
“多少”的数——基数 “顺序”的数——序数（归纳法、Peano公理 ） 度量的数——长度、面积（分数、无理数） 计算的数——运算、方程（负数、无理数、虚 数）
演示课件
“数”ห้องสมุดไป่ตู้起源
数的表示 数制——十进制（手指计数） 进位制：整数和小数
O
1
2
“实在”的意义：最基础的“数”的记号被无
数的表示 实数的完备性——“几何实在性”的终结！ 虚数——“虚妄”的数！ i不需要再有计算的问题——运算“完备性
” 复数——“平面的数” 四元数——“空间的数” 扩张与因袭——代数学的解放
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基数与序数概览
一些代数学概念的简单回顾 1.Descartes 积 AB = {(a,b)|a A, b B} 2.关系 AB的任意子集成为从A到B的关系。 3. 映射、单射、满射、1-1映射、逆映射
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基数与序数概览
一些代数学概念的简单回顾 1.Descartes 积 AB = {(a,b)|a A, b B} 2.关系 AB的任意子集成为从A到B的关系。 3. 映射、单射、满射、1-1映射、逆映射
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基数与序数概览
一些代数学概念的简单回顾 4.二元关系 5.等价关系与分类 等价关系：反身性、对称性、传递性 6. 偏序与偏序集 偏序关系：反身性、反对称性、传递性 偏序集、偏序集的同态与同构 偏序集表示定理*
形中赋予实在的意义，比如十进制中的0，1，2，
…，9。
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“数”的起源
数的表示 分数的“好运气”： 分数也并不总是有着最直接的实在的意义，
比如十进制的1/3，无限循环小数实际上描述 了一个无限的过程，但这一“实在”被想当 然的接受，“1/3”作为一个独立的记号意义 也没有受到质疑，这也许是比或比例的几何 直观意义带来的效果。
演示课件
什么是数学概念 一个小调查： 在初中数学范围内，我们认为是数学概 念的…… 怎样概括出“数学概念”的概念……
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什么是数学概念
概念：心理学名词。由同类多数事物 之诸项知觉所构成之普通观念，谓之 概念。伦理学上之概念即族类特性之 定义，必须涵括同一族类观念，对于 族类之属性所知愈多，则其概念愈近 于论理的。概念之构成，含有比较、 抽析、判断、综合诸作用。
美的数学要有适应人的发展特点的适当方式， 这需要以研究为基础的创造；
兴趣与好奇心是儿童学习的内部动力，游戏与 探索性活动是引起兴趣与好奇心的最有效的形 式。
演示课件
初中数学概念教学主题
数的系统：自然数、整数、有理数与无理数 及其运算与大小关系（序）
形的系统：点、线（线段、射线、直线），
与相似
三角形、四边形、多边形，全等
度量的系统：长度、面积与体积，角度，数 轴与坐标系
Cogito, er演go示s课u件m
“数”的起源
数是可以用来运算，并与客观事物相联系的一些 记号。 数“数”：建立事物与{1，2，3，…}联系的过程 （1-1映射）。 测量（几何学的概念）：单位+相等 数“数”的过程中蕴含着“多少”和“顺序”两 个概念。
——中华书局1981年1月第一版（据1936年 版缩印），在上册1546页。
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什么是数学概念 概念：类属性的概括、抽象 对象性（实体）与过程性（关系） 抽象的实体是认识的最终目标，具体
的关系是形成实体的基础。
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什么是数学概念
数学：数量关系与空间形式（模式与 秩序）
关于数量关系与空间形式的实体： 数的系统，形的系统 两者之间的联系：度量的系统
将一张A4纸沿着长边的2个中点对折，将得 到2个小长方形，小长方形的长与宽之比与 A4纸相同.
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“数”的起源
❖ 数的表示 *无限循环小数与无限不循环小数 * 1. 实数的实在性; 2. 实数的本质——有限与无限的辩证法。 思考：“ 2 的计算”、“的计算” 等说法的隐喻。
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“数”的起源
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基数与序数概览
有理数的可数性：有理数之树
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基数与序数概览
基数与序数 例4. [0，1] （0，1） 例5.（0，1） R 例6. 实数集是不可数集 基数的比较 Cantor定理
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Cogito,ergo suo
初中数学中的概念教学
哲学、理论与实践的思考
李建华 北京师范大学
2015.11
辛钦《数学分析简明教程》序
我想尽力做到一点，即使得在引进新 概念与监理新理论时，学生先有准备 ，能够尽可能地看出这些新概念、新 理论的引进是很自然的，甚至是不可 避免的。我认为只有利用这种方法， 在学生方面才能对于所学的东西产生 真正的兴趣，才能非形式化地理解与 掌握所学到的东西。
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基数与序数概览
一些代数学概念的简单回顾 7.二元运算与代数系 二元运算、代数系 （1）群胚与半群 （2）群、环与域 （3）代数系的同态与同构
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基数与序数概览
基数与序数 1.基数与无限集 基数的概念 例1. N={0,1,2,…,n,…},E={0,2,4,…,2n,…} 例2. N N N 例3. Q N 有限集与无限集 无限集的特征 可数集
数学至高至善价值的认同； 数学不仅仅是逻辑、语言、工具，更
是人类文明最高形式的表现之一，是 文化的组成部分； 教育的终极目标是使每一个人理解生 命的价值和意义，数学是通向这一目 标的独特通道。
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尊重学生：以敬畏之心努力营造环境
儿童是天生的学习家，学习是儿童与生俱来的 能力，使儿童浸淫在美的数学环境中，将最大 限度的激发出儿童的数学潜能；