椭圆的第二定义
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问题二 （1）猜想中有哪些已知条件? （2）定点、比在椭圆中分别指什么? （3）比的取值范围是什么? （4）椭圆有几条类似的定直线,它们与椭圆
有怎样位置关系?
概念分析
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 F ( -c ,0 ) 2 能不能说 M 到 a c 线的距离的比是一个常数 时 , 这个点的 e (0 e 1) x 的距离与到直线 a c 的距离比也是离 轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义，定点是椭圆的 心率e呢? 焦点,定直线叫做椭圆的准线,,常数e是椭圆的离心率. y x2 y2 对于椭圆 2 + 2 1(a b 0) M a b 相应于焦点 F (c,0) 的准线
焦半径公式: |PF2|=a-ex0,|PF1|=a+ex0
课堂小结
1.椭圆的第二定义 转化 到焦点的距离 到相应准线的距离 2.焦半径公式
PF1 = a + ex1
PF2 = a - ex1
例题讲解
例1：求下列椭圆的焦点坐标和准线 2 2 y x __ (1) __ + =1 100 36
焦点坐标:(-8,0),(8,0). 准线方程:
25 __ x= ±
2
(2) 2x2+y2=8
焦点坐标:(0,-2),(0,2). 准线方程:y= ±4
例题讲解
例2 求中心在原点,一条准线方程是x=3， 5 离心率为 的椭圆标准方程.
猜想证明
猜想
若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它 2 c a 到定直线 的距离的比是常数e xl: a c (0<c<a),则动点P的轨迹是椭圆.
猜想证明
证明:由已知，得
y P 0
F (c,0)
( x - c) 2 + y 2 c 2 a a | -x | c
将上式两边平方并化简得:
e是椭圆的离心率. 证明: |PF2|=a-ex0,|PF1|=a+ex0
迁移延伸
证明:
PF1 PP1
PF2 PP2
P1
P ( x 0 , y0 )
F1 F2
.
P2
e
e
a2 PF1 e PP1 e( x0 + ) a + ex0 c
a2 PF2 e PP2 e( - x0 ) a - ex0 c
到右焦点的距离为14,求P点到左准线的距离.
解:由椭圆的方程可知 由第一定义可知:
c 3 a 10, b 8, c 6, e a 5
y
| PF1 | 2a- | PF2 | 20 -14 6
由第二定义知:
d1 P
F1
d2
0
F2
PF1 d1
e d1
PF1 e
x
F1
a2 左焦点(-c,0), 左准线 x c
x y + 1a b 0 2 2 a b
2
2
y2 x2 + 2 1a b 0 2 a b a2 下焦点(0,-c), 下准线 y c a2 上焦点(0,c), 上准线 y c
右焦点(c,0),
a2 右准线 x c
10
x2 y2 + 1 内有一点P(1,-1),F为右焦 例4 :若椭圆 4 3 点,在该椭圆上求一点M,使得 MP + 2 MF 最小，
并且求最小值. y
例题讲解
1 e 2
x
M
F
O P
2 6 M , 1 3
dmin 3
x4
迁移延伸
x2 y 2 P(x0,y0)是椭圆 2 + 2 1(a b 0) 上一点, a b
d
H
将上式两边平方 , 并化简得 9 x 2 + 25 y 2 225, x2 y2 + 1 即 25 9 所以, 点 M的轨迹是焦点在 x轴，长轴、短轴长分别 为 x2 y2 + 1 10、 6的椭圆，其轨迹方程是 25 9
问1:椭圆的焦点坐标和离心率分别是什么？ 问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想？
问题情境
问题一 已知动点P到定点(3,0)的距离与到定直线
3 25 x 的距离之比等于 ,求动点P的轨迹. 3 5
解 : 设 d是点 M到直线 l : x
25 的距离 , 根据题意 , 点 M的轨 迹就是集合 4 MF 4 P {M }, d 5
由此得
( x - 4) 2 + yHale Waihona Puke Baidu2 4 . 25 5 -x 4
x 解:依题意设椭圆标准方程为 2 a
由已知有
5 c a 3 a2 c 3
2
3
2
+ b2 1(a b 0)
5 3
y2
解得a= 5 c=
b a - c 20 9
2 2
所求椭圆的标准方程为
x 5
2
+
y
2
20 9
1
例题讲解
x2 y2 例3 椭圆方程为 + 1,其上有一点P,它 100 64
x
(a 2 - c 2 ) x 2 + a 2 y 2 a 2 (a 2 - c 2 )
2 2 x y 设a 2 - c 2 b2 则原方程可化为: 2 + 2 1(a b 0) a b 这是椭圆的标准方程，所以P点的轨迹是长轴长为 2a
a2 x c
短轴长为 2b 的椭圆.
概念引入
F (-c,0) 0
F (c,0)
2 a x 方程是 x c
a xc
2
a 2 由椭圆的对称性，相应于焦点 x a2 c F (-c,0)的准线方程是 x c
焦点准线
左 准 线
y
上 准 线 P
a xc
2
y
P
右 a x 准 c 线
2
a2 y c
F2
O
x
a2 yc
F1
O
F2
x
下 准 线
有怎样位置关系?
概念分析
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 F ( -c ,0 ) 2 能不能说 M 到 a c 线的距离的比是一个常数 时 , 这个点的 e (0 e 1) x 的距离与到直线 a c 的距离比也是离 轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义，定点是椭圆的 心率e呢? 焦点,定直线叫做椭圆的准线,,常数e是椭圆的离心率. y x2 y2 对于椭圆 2 + 2 1(a b 0) M a b 相应于焦点 F (c,0) 的准线
焦半径公式: |PF2|=a-ex0,|PF1|=a+ex0
课堂小结
1.椭圆的第二定义 转化 到焦点的距离 到相应准线的距离 2.焦半径公式
PF1 = a + ex1
PF2 = a - ex1
例题讲解
例1：求下列椭圆的焦点坐标和准线 2 2 y x __ (1) __ + =1 100 36
焦点坐标:(-8,0),(8,0). 准线方程:
25 __ x= ±
2
(2) 2x2+y2=8
焦点坐标:(0,-2),(0,2). 准线方程:y= ±4
例题讲解
例2 求中心在原点,一条准线方程是x=3， 5 离心率为 的椭圆标准方程.
猜想证明
猜想
若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它 2 c a 到定直线 的距离的比是常数e xl: a c (0<c<a),则动点P的轨迹是椭圆.
猜想证明
证明:由已知，得
y P 0
F (c,0)
( x - c) 2 + y 2 c 2 a a | -x | c
将上式两边平方并化简得:
e是椭圆的离心率. 证明: |PF2|=a-ex0,|PF1|=a+ex0
迁移延伸
证明:
PF1 PP1
PF2 PP2
P1
P ( x 0 , y0 )
F1 F2
.
P2
e
e
a2 PF1 e PP1 e( x0 + ) a + ex0 c
a2 PF2 e PP2 e( - x0 ) a - ex0 c
到右焦点的距离为14,求P点到左准线的距离.
解:由椭圆的方程可知 由第一定义可知:
c 3 a 10, b 8, c 6, e a 5
y
| PF1 | 2a- | PF2 | 20 -14 6
由第二定义知:
d1 P
F1
d2
0
F2
PF1 d1
e d1
PF1 e
x
F1
a2 左焦点(-c,0), 左准线 x c
x y + 1a b 0 2 2 a b
2
2
y2 x2 + 2 1a b 0 2 a b a2 下焦点(0,-c), 下准线 y c a2 上焦点(0,c), 上准线 y c
右焦点(c,0),
a2 右准线 x c
10
x2 y2 + 1 内有一点P(1,-1),F为右焦 例4 :若椭圆 4 3 点,在该椭圆上求一点M,使得 MP + 2 MF 最小，
并且求最小值. y
例题讲解
1 e 2
x
M
F
O P
2 6 M , 1 3
dmin 3
x4
迁移延伸
x2 y 2 P(x0,y0)是椭圆 2 + 2 1(a b 0) 上一点, a b
d
H
将上式两边平方 , 并化简得 9 x 2 + 25 y 2 225, x2 y2 + 1 即 25 9 所以, 点 M的轨迹是焦点在 x轴，长轴、短轴长分别 为 x2 y2 + 1 10、 6的椭圆，其轨迹方程是 25 9
问1:椭圆的焦点坐标和离心率分别是什么？ 问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想？
问题情境
问题一 已知动点P到定点(3,0)的距离与到定直线
3 25 x 的距离之比等于 ,求动点P的轨迹. 3 5
解 : 设 d是点 M到直线 l : x
25 的距离 , 根据题意 , 点 M的轨 迹就是集合 4 MF 4 P {M }, d 5
由此得
( x - 4) 2 + yHale Waihona Puke Baidu2 4 . 25 5 -x 4
x 解:依题意设椭圆标准方程为 2 a
由已知有
5 c a 3 a2 c 3
2
3
2
+ b2 1(a b 0)
5 3
y2
解得a= 5 c=
b a - c 20 9
2 2
所求椭圆的标准方程为
x 5
2
+
y
2
20 9
1
例题讲解
x2 y2 例3 椭圆方程为 + 1,其上有一点P,它 100 64
x
(a 2 - c 2 ) x 2 + a 2 y 2 a 2 (a 2 - c 2 )
2 2 x y 设a 2 - c 2 b2 则原方程可化为: 2 + 2 1(a b 0) a b 这是椭圆的标准方程，所以P点的轨迹是长轴长为 2a
a2 x c
短轴长为 2b 的椭圆.
概念引入
F (-c,0) 0
F (c,0)
2 a x 方程是 x c
a xc
2
a 2 由椭圆的对称性，相应于焦点 x a2 c F (-c,0)的准线方程是 x c
焦点准线
左 准 线
y
上 准 线 P
a xc
2
y
P
右 a x 准 c 线
2
a2 y c
F2
O
x
a2 yc
F1
O
F2
x
下 准 线