2020高考数学第六章 第五节 数列的综合应用

第五节 数列的综合应用

题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用

[典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( )

A ．60里

B ．48里

C ．36里

D ．24里

(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．

[解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为1

2的等比数列{a n }，

设等比数列的首项为a 1，则a 1⎝⎛⎭

⎫1－1261－12

＝378，

解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×1

2＝12，

则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]

1－(1＋p )

＝a

p [(1＋p )5－(1＋p )] ＝a

p [(1＋p )5－1－p ]．

[答案] (1)C (2)a

p [(1＋p )5－1－p ] [方法技巧]

1．数列与数学文化解题3步骤

1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )

A ．9日

B ．8日

C ．16日

D ．12日

解析：选A 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋

m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)

2

＝

2×1 125，解得m 1＝9或m 2＝－40(舍去)，故选A.

2．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t 倍．下列选项中，与t 值最接近的是( )

A ．11

B ．13

C ．15

D ．17

解析：选B 设鱼原来的质量为a ，饲养n 年后鱼的质量为a n ，q ＝200%＝2，则a 1＝a (1＋q )，a 2＝a 1⎝⎛⎭⎫1＋q 2＝a (1＋q )⎝⎛⎭⎫1＋q 2，…，a 5

＝a (1＋2)×(1＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1＋122×⎝⎛⎭⎫1＋123＝405

32

a ≈12.7a ，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B. 题型二 数列中的新定义问题

[典例] 若数列{a n }满足

1

a n ＋1－1

a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”，已知正项数列⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

1b n 为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 2 019＝20 190，则b 2b 2 018的最大值是

________．

[解析] 因为数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1b n 是“调和数列”，

所以b n ＋1－b n ＝d ，即数列{b n }是等差数列， 所以b 1＋b 2＋…＋b 2 019＝

2 019(b 1＋b 2 019)2＝2 019(b 2＋b 2 018)

2

＝20 190，

所以b 2＋b 2 018＝20.

又1

b n

>0，所以b 2>0，b 2 018>0，

所以b 2＋b 2 018＝20≥2b 2b 2 018，

即b 2b 2 018≤100(当且仅当b 2＝b 2 018时等号成立)， 因此b 2b 2 018的最大值为100. [答案] 100 [方法技巧]

新定义数列问题的特点及解题思路

新定义数列题的特点是：通过给出一个新的数列的概论，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．

[针对训练]

1．定义一种运算“※”，对于任意n ∈N *均满足以下运算性质：(1)2※2 019＝1；(2)(2n ＋2)※2 019＝(2n )※2 019＋3，则2 018※2 019＝________.

解析：设a n ＝(2n )※2 019，则由运算性质(1)知a 1＝1， 由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3. 所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，

故2 018※2 019＝(2×1 009)※2 019＝a 1 009＝1＋1 008×3＝3 025. 答案：3 025

2．定义各项为正数的数列{p n }的“美数”为

n

p 1＋p 2＋…＋p n

(n ∈N *)．若各项为正数的

数列{a n }的“美数”为12n ＋1

，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1

b 2 018b 2 019＝________.

解析：因为各项为正数的数列{a n }的“美数”为1

2n ＋1，

所以

n a 1＋a 2＋…＋a n ＝1

2n ＋1

.

设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝n (2n ＋1)， S n －1＝(n －1)[2(n －1)＋1]＝2n 2－3n ＋1(n ≥2)， 所以a n ＝S n －S n －1＝4n －1(n ≥2)．

又1a 1＝1

3，所以a 1＝3，满足式子a n ＝4n －1， 所以a n ＝4n －1(n ∈N *)．