弹性力学第八章 薄板弯曲

2w 2w M y D 2 2 x y 2w M xy D xy
2 w x 2 Qy D w y Qx D
如果用截面内力表示截面上 的应力，可得
12M x z 3 t 12M y y 3 z t 12M xy xy z 3 t 6Qx t 2 xz 3 z 2 t 4
w 0, w w x, y 由几何方程可得 z
z 0
结合第一假设，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸 缩，并且成为弹性曲面的法线。 1 由于不计 z 所引起的形 变，所以其物理方程与薄板平 面问题中的物理方程是相同的。
x
E 1 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy xy G E ( x y )
挠度w
应力分量方程
§8-5
圆形薄板弯曲问题
求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较方便。把 挠度和横向荷载都看作是极坐标的函数。即： w w(r, ) , q q(r, ) 进行坐标变换可得：
w w sin cos x r r w w cos sin y r r w w
M
yx B
边界条件可改写为：
2w 2w 0 2 2 x y b y
M
y
y b
0,
V
y
y b
0
3w 3w 0 3 (2 ) 2 x y y b y
板弯曲的解题思路
曲面微分方程
边界条件
w z x w v z y
由几何方程可得
u 2w x 2 z x x v 2w y 2 z y y
由物理方程可得
Ez 2 w 2w x 2 2 2 1 x y Ez 2 w 2w y 2 2 2 1 y x Ez 2 w xy 1 xy

2
z z
t 2
0
Et 1 z z 2 6(1 ) 2 t
代入薄板上面内的边界条件：
2
z 4 1 w t
z z t 2

q
最后得到：
Et 3 4 wq 2 12 1
可记为
D4 w q
--薄板的弹性曲面微分方程
M
yx
M yx
M yx
M yx dx x
B
M
yx
A
M yx dx x
边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 边界上的总的分布剪力为
M yx dx x
M yx Vy Q y dx x
除此之外，在A和B 还有未 被抵消的集中剪力（也就 是有集中反力）
M
yx
A
一、弹性曲面的微分方程
薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基本未知函数是薄 板的挠度w。因此把其它所有物理量都用w来表示，即可得弹 性曲面的微分方程。 u w w v 由假设 0 , 0 可得： 0 0 zx yz z x y z
即
u w z x
其中：
Et 3 D 12(1 2 )
4 w 2 2 w
§8-3 薄板横截面上的内力
x
z
yx
y
x
z
My
xy
xz
x
M xy
M yx
Mx
Qx
Qy
yz
y
t 2 t 2
y
t Ez 2 w 2w 2 2 M x z x dz z dz t 2 2 2 1 x y 2 2w 2w D 2 2 y x
xy
u v 2w 2 z y x xy
另由平衡方程可得
zx x z x y zy y xyx z y x yx
zx Ez 3 w 3 w Ez 2 w 2 3 2 2 z 1 x xy 1 x zy Ez 3 w 3 w Ez 2 w 2 3 2 2 z 1 y yx 1 y
（3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：
u
z 0
0,

z 0
0

所以由几何方程可以得出：

x z 0
0, 0, 0
y z 0 xy z 0
中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它 在xy面上投影的形状却保持不变。
§8-2 弹性曲面的基本公式
z Ez t 2 2 4 z w 2 z 2(1 ) 4
2 3 Ez t z 4 积分得 z w F3 ( x, y ) z 2 2(1 ) 4 3
根据薄板下面内的边界条件： 可求得F3(x,y), 最后得到：
第八章 薄板弯曲
§8-1 基本概念及基本假设 §8-2 弹性曲面的基本公式 §8-3 薄板横截面上的内力
§8-4 边界条件
§8-5 圆形薄板弯曲问题
§8-1 基本概念及基本假设
一、基本概念
1 、中面：平分板厚度t 的平面简称为中面。 2、薄板：板的厚度t远小于 中面的最小尺寸b，这样的 板称为薄板。
t 2
x
b
y
z
t 2
中面百度文库
3、荷载分为: (1)纵向荷载（中面荷载）--作用在薄板中面之内的荷载 沿厚度均匀分布，引起的应力、应变、位移可按平面 应力问题计算 (2)横向荷载—垂直于中面的荷载 使薄板弯曲，引起的应力、应变、位移可按薄板弯曲问 题计算
二、基本假设
薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假设为基础的 （1）垂直于中面方向的正应变可以不计
z t
6 M xy ( xy ) z 0 2 t 3Qx ( xz ) z 0 2t 3Q y ( yz ) z 0 2t ( z ) t q
z 2
§8-4
边界条件
边界上的应力边界条件，一般难于精确满足，一般 只要求满足边界内力条件。 一、以矩形薄板为例，说明各种边界 处的边界条件。假设OA边是固支边界， 则边界处的挠度和曲面的法向斜率等 于零。即
积分得
Ez 2 2 zx w F1 ( x, y ) 2 2(1 ) x Ez 2 2 zy w F2 ( x, y ) 2 2(1 ) y
根据薄板上下面内的边界条件： 可求得F1(x,y), F2(x,y) , 最后得到：

zx z
在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具 有相同的位移，其值等于挠度。与梁的弯曲相似，在梁的任 意一横截面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线 的挠度。 （2）应力分量 zx , zy 和 z 远小于其余三个应力 分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。但它 们本身是维持平衡所必需的，不能不计。所以有： zx 0, yz 0 与梁的弯曲有相同之处，也有不同之处，梁的弯曲我们只 考虑横截面，板的弯曲有两个方向，要考虑两个横截面上的应
用挠度表示的内力：
M r ( M x ) 0 2w 2w 1 w 1 2 w 2w D 2 2 D 2 2 2 x y r r r r 0
1 w 1 2 w 2w 2w 2w M ( M y ) 0 D 2 2 D 2 2 2 y x r r r r 0 2w 1 2 w 1 w M r ( M xy ) 0 D(1 ) 2 D(1 ) x y r r r 0 Qr (Qx ) 0 D 2 w D 2 w r x 0 1 2 Q (Qy ) 0 D 2 w D w y r 0
截面上的最大应力，正应 力发生在板的上下面上，切应 力发生在板的中面上，其值为
( x ) ( y )
z t 2
x

6M x t2
z
t 2
6M y 2 t
6Q y yz 3 t
t2 z2 4 z 1 t
2
1 z 2 q 2
v w z y
u
积分得
w z f1 ( x, y ) x w v z f 2 ( x, y ) y
根据薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移即：
u
z 0
0,

z 0
0
u
可得：
f1 ( x , y ) 0
f 2 ( x, y ) 0
分布剪力：
1 M r r M r V Q r Vr Qr
边界条件：
1、r=a处有固定边 2、r=a处有简支边
wr a 0 ,
w 0 r r a
wr a 0 , Mr r a 0 Mr r a 0 , Vr r a 0
yx
y b
0
Q
y
y b
0
因为薄板的挠度方程为一四阶偏微分方程，根据偏微 分方程的理论，在每个边界上只能有两个独立的边界 条件，这里的三个边界条件中后两个是有联系。根据 圣维南原理，可将扭矩和剪力用静力等效来代替。
M yx
M yx
M yx dx x
M yx d xd x M yx x
2 2 2 2 w w w 1 w 1 w 2 w 2 2 2 2 2 x y r r r r
则弹性曲面的微分方程可以变换为：
2 1 1 2 2 w 1 w 1 2 w D( 2 2 2 )( 2 2 2)q r r r r r r r r
t 2
0

zy z t 2
0
2 t2 2 Ez zx z w 2 2(1 ) 4 x 2 t2 2 Ez zy z w 2 2(1 ) 4 y
另由平衡方程可得
即
y xz yx z x y
w x0 0,
w 0 x x 0
二、OC具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：
w y 0 0, M y y 0 0
后者可表示为
2w 2w 0 2 2 x y
由于沿边界的挠度为常值0，故沿x后的导 数恒为零，边界条件又可表示为
2w 0 2 y
三、假设薄板具有简支边界。边界上具 有力矩荷载M。这时，边界处的挠度等 于零，而弯矩等于力矩荷载。即：
w y 0 0, M y y 0 M
四、假设薄板具有自由边界。AB边 严格来讲，自由边界上的三个内力分量均为零，即：
M
y
y b
0,
M