转动惯量的平行轴定理

由上节的定义可知，刚体的转动惯量矩(或回转半径)与惯性积和连体基及其基点的定义有关。从例5.1-1可以看到。对于同一个基点不同方位的两个连体基，一般情况下刚体关于两基的转动惯量与惯性积各不相同，但它们有一定的关系(详见6.4节)。

本节讨论当基点改变，连体基的方向不变时刚体的转动惯量间的关系。

在刚体的质心C上建立另一个与平行的连体基。质心C相对于O的矢径为。质点P k相对于点O与C的矢径分别为与。由图5-2可见，这些矢径有如下关系

图5-2 不同基点转动惯量的关系

(5.1-5)

由于两基平行，该矢量式在基上的坐标表达式为

(5.1-5')

其中为质心C矢径在基上的坐标阵，为P k的矢径在基上的坐标阵。将式(5.1-5')代入(5.1-2c)，有

(5.1-6)

考虑到矢径由质心C出发，由质心的矢径与质点矢径间的关系式(2.3-24)，有

在连体基的坐标式为

(5.1-7)

，，

因此式(5.1-6)右边的后两项为零。根据定义，该式右边第一项为刚体相对于Cz轴的转动惯量J Cz，即

(5.1-8)

右边第二项中的为Oz轴与Cz轴的垂直距离，记为h z。这样式(5.1-6)变为

(5.1-9)

同理可得

(5.1-10)

式(5.1-9)与(5.1-10)描述的是刚体转动惯量的平行轴定理：刚体对任意轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴转动惯量加上刚体的质量与两轴垂直距离平方的乘积。

利用同样的方法可得到刚体关于O惯性积与关于C惯性积间的关系式

(5.1-11a)

(5.1-11b)

(5.1-11c)

图示一摆由长为l均质杆与一半径为r的均质圆球刚连而成。质量分别为m1与m2。计算该摆对过O且垂直杆的z轴的转动惯量。

例5.1-2图

解：

令过点O杆绕z轴的转动惯量为，球对过质心C2的平行z轴的z2转动惯量为。由附录A 知，

(1)

令球对过点O绕z轴的转动惯量为，由式(5.1-9)，考虑到式(1)，有

(2)

令整个摆对过点O绕z轴的转动惯量为，由定义式(5.1-2c)，考虑到式(1)与(2)有

质点系转动惯量与惯量积的定义

一质点惯性的度量为该质点的质量。考虑有n个质点构成的质点系。令质点系内任意一质点P i 的质量为m i。对于该质点系，度量其惯性的物理量之一为质点系的总质量，即

(5.1-1)

质量在国际单位制中单位为千克(kg)。对于刚体，如果将上式的求和号对刚体的所有质点进行，得到刚体的质量。它是刚体平移运动惯性的度量。

现考察质量相同的两个圆环，用同样的力偶绕圆环的轴线驱动它们，发现直径大的圆环启动比较困难，表现出较大的惯性。说明刚体在作转动时，系统的惯性将与质点系的质量的分布有关。为此需引入描述质点系惯量的另一个物理量：转动惯量。

在刚体上过点O建立一连体基(见图5-1)，质点P k相对于O的矢径为，其在该基上的坐标阵为，定义

图5-1 转动惯量与回转半径

(5.1-2a)

(5.1-2b)

(5.1-2c)

其中ρkx、ρky与ρkz分别为质点P k到Ox、Oy与Oz轴的距离。称J Ox、J Oy与J Oz分别为刚体关于Ox、Oy与Oz轴的转动惯量。转动惯量在国际单位制中单位为千克平方米()。转动惯量的另一种表达方法为

(5.1-3)

其中，m为刚体的质量，ρx、ρy与ρz分别称为刚体对Ox、Oy与Oz轴的回转半径。一些常见的规则外形均质刚体转动惯量与回转半径见附录A。

描述刚体转动惯量的另一个量为刚体的惯性积。对于过刚体上点O的连体基，定义如下与转动惯量有相同量纲的量：

(5.1-4a)

(5.1-4b)

(5.1-4c)

称J Oxy与J Oyx为刚体关于Oxy平面的惯性积；称J Oyz与J Ozy为刚体关于Oyz平面的惯性积；J Ozx与J Oxz为刚体关于Oxz平面的惯性积。

考虑一均质圆盘的转子，质心为C。转子的转轴Cz与圆盘中心轴有如图所示一小偏角 。试计算惯性积J Czx

例5.1-1图

解:

如图所示过C建立两个连体基与。基相对于基的方向余弦阵为

(1)

对于圆盘上的任意点P k在两个基上的坐标阵间的关系为：

令与，展开上式有

(2)将式(1)与(2)代入定义式(5.1-4c)，考虑到式(5.1-2c)与(5.1-2a)，有

考虑到为圆盘的中心惯量主轴，有J Cx’z’=0。令圆盘的半径为r，由附录A，有

(3)