如何解二元一次不定方程

如何解二元一次不定方程

意思就是说求方程a x+by=c 中x,y 的整数解。

对于这个问题，数论中有专门的解法，一般是采用辗转相除法来做，就是类似于求最大公因子的相除过程。因为可能直接用辗转相除法大家可能不好理解，我先用普通的解方程的方法来做，然后再跟大家介绍数论中的做法。

为了简化问题，我们先求7x +4y =1的一切整数解。 解：我们对等式进行变形，得到y =1−7x 4

=−x +

1−3x 4

式①

因为y 是整数，所以1−3x 4

也必须是整数，再另y′=

1−3x 4

，变形得到4y ′+3x =1，再次变形

表达成x =

1−4y′3

=−y′+

1−y′3

式②

因为x 是整数，所以1−y′3

也必须是整数，然而

1−y′3

是整数的条件就是1−y ′是3的倍数，所以

y ′=3m +1 式③ 这样

1−y′3

是整数才能满足。从式③反推回式②，得到 x =−1−4m

再反推回式①得到 y =2+7m

至此，我们就得到了不定方程7x +4y =1的全部整数解x =−1−4m ，y =2+7m 式中m 可以取任意的整数。

对结果表示怀疑？那么我们试几个m 值：

当m =0时，x =−1，y =2；7x +4y =7×(−1)+4×2=1 当m =1时，x =−5，y =9；7x +4y =7×(−6)+4×9=1

如果还想试的话，自己去试吧，如果找到不对的情况请立刻去买彩票！ O(∩_∩)O~

我们来分析一下这种计算方法，看看这么巧妙是如何实现的：

式①之中，我们通过变形把系数大的项移动到等式右边，然后把左边的系数除过去，得到y =

1−7x 4

式中x y 都为整数，所以我们又变形得到y =−x +

1−3x 4

，为何要这样呢？这就是

关键所在！因为这样做就逐步的把系数减小了，前面的式子分子系数为7，而后面的变成了3！而根据

1−3x 4

是一个整数，所以我们又可以列出新的不定方程，这个方程就要比我们最早

的方程更简单，这样一直演算下去，最后分子系数肯定会变成1，比如x =−ay′+a−y′c

，

这时因为

a−y′c

是整数，假设等于m ，得到

a−y′c

=m ，变形得到y′=a −cm ，这就是最愉快

的时候的，我们再一路反推回去，就可以得到原始的x y 的通解表达式了。

上面的分析例子虽然简单，但是思想是对所有的不定方程都通用的，如果没有理解的话，请再仔细的看一遍，自己再演算一遍，肯定就OK 了。

Winxos 2009-8-26 3:02:53

今天我接着上次的给大家讲一下数论中用的辗转相除法。

实际上辗转相除法就是上面解方程法的简化计算版本，原理是一样的。

我们还是以7x+4y=1为例子来讨论

公式1：不定方程的一个特解为x=(−1)n−1ℚn ,y=(−1)n p n其中n就是表中的第一行。所以我们得到了不定方程7x+4y=1的：

一个特解为：x=(−1)2−1=−1 ,y=(−1)22=2

下面给出几个相关的定理：

定理1：如果二元一次不定方程ax+by=c有一整数解x=x0 ,y=y0；

又假定(a,b)=d即a=a1d ,b=b1d

则ax+by=c的一切解可以表示为x=x0−b1t ,y=y0+a1t ,其中 t=0,±1,±2,…

定理2：ax+by=c有整数解的充分必要条件是(a,b)|c

术语解释：(a,b)表示 a,b的最大公因子，(a,b)|c表示a,b的最大公因子能整除c

根据上面的定理1，我们可以得到不定方程7x+4y=1的通解为：

x=−1−4t ,y=2+7t

经过上面的练习，现在给出具体的求解ax+by=c的步骤：

①判断是否有解，看是否(a,b)|c

②若(a,b)|c将ax+by=c两边同时除以(a,b)，得到a′x+b′y=c′；a′,b′互质

③先利用表1及公式1，求的|a′|x+|b′|y=1的一个特解

④将特解放大c′倍，再绝对值变换，得到a′x+b′y=c′的特解

⑤根据定理1，求得a′x+b′y=c′的通解，这也是原方程ax+by=c的通解

⑥完毕

下面我再给出一个书上的复杂点的例子，以及用上面的方法求解过程。

题目：求111x−321y=75的一切整数解。

解：

①判断是否有解

(111,−321)=3 而 3|75所以该不定方程有解

②变形处理

等式两端同时除以(111,−321)得到37x−107y=25

③求特解

我们先求解37x−107y=1，为了计算方便，我们进行绝对值处理，以及变量换名字，我们变成求解107x+37y=1，辗转除107与37，过程如下：

a=107除以b=37，商q1为2，余数为33

a=37除以b=33，商q2为1，余数为4

a=33除以b=4，商q3为8，余数为1

余数为1，停止计算

我们将q1=2 ,q2=1 ,q3=8

根据p k=q k p k−1+p k−222102+1=3

根据ℚk=q kℚk−1+ℚk−2我们得到ℚ2=q2ℚ1+ℚ0=1×1+0=1

继而求得：

p3=q3p2+p1=8×3+2=26

ℚ3=q3ℚ2+ℚ1=8×1+1=9

根据公式1，得到107x+37y=1的特解为x=(−1)3−19=9 ,y=(−1)326=−26

所以37x−107y=1的特解为x=−26 ,y=−9

④求37x−107y=25的特解

将37x−107y=1的特解放大25倍，得到37x−107y=25的特解x=−650 ,y=−225⑤求111x−321y=75的通解

根据定理1，得到37x−107y=25的通解为

x=−650+107t ,y=−225+37t ,t=0,±1,±2,…

或者为了好看，处理小一点，表达成：

x=−8+107t ,y=−3+37t ,t=0,±1,±2,…

这也就是题目111x−321y=75的通解。

完毕。

辗转相除法是我国古代很早前就发明的算法，为我们的祖先感到骄傲。

希望看到这篇文章的朋友能了解辗转相除法，能够很轻松的解二元一次不定方程，那样我就很满足了。如果朋友您从这里学会了二元一次不定方程的解法，不妨留下脚印，如果还有什么不理解的地方欢迎给我留言。

Winxos 2009年8月27日14:01:05