含参不等式练习题及解法

含参不等式练习题及解法

众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。（1）解不等式，寻求新不等式的解集；

（2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。

（3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。

一、立足于“直面求解”

解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断地

从求解不等式切入。例1.设关于x的不等式

（1）解此不等式；（2）若不等式解集为（3，+∞），求m的取值范围；

（3）若x=3属于不等式的解集，求m的取值范围

分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里m2>0,m2同乘以不等式两边，则不等式转化为ax>b型，于是可以x 的系数a的取值为主线进行讨论。

解：（1）由题设，原不等式m（x+2）>m2+(x-3)(m R，m≠0)

(m-1)x>m2-2m-3(1)∴当m>1时，由（1）解得

当m=1时，由（1）得x R;当m<1且m≠0时，由（1）解得

∴当m>1时，原不等式的解集为当m=1时，原不等式的解集为R

当m<1且m≠0时，原不等式的解集为

（2）若不等式的解集为（3，+∞），则由（1）知应得

∴此时m的取值范围为{5}

（3）注意到x=3 为不等式的解，将x=3代入（1）得：3（m-1）>m2-2m-3m2-5m<0 0

∴此时所求m的取值范围为（0，5）点评：对于（2），已知含参不等式的解集，要求的是所含参数m的取值

范围。对此，我们正是立足于（1）直面求解，由已知解集的特征断定m-1>0以及，m的取值或取值范围由此而产生。

例2．已知关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数R的取值范围。

分析：由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2,那么当x= -2属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。

解：不等式x2-x-2>0 (x+1)(x-2)>0x<-1或x>2

∴不等式x2-x-2>0的解集A=（-∞，-1）∪（2，+ ∞），显然-2∈A

不等式2x2+(2R+5)x+5R<0 (x+R)(2x+5)<0①

设这一不等式的解集为B，则由-2B，得：（-2+R）（-4+5）<0R<2②

注意到（x+R）(2x+5)=0的根为x1= -R，，

∴(1)当时, 由①得,即此时-2 B

(2)当时,由①得

∵{x|x A∩B,x Z}={-2}∴③

于是由②、③得所求实数的取值范围为[-3，2）

点评：在这里，考察的重点是含有参数的成员不等式，设含参不等式2x2+(2R+5)x+5R<0的解集为B，而后首先由-2 B获得一个必要的R的取值范围，进而立足于这一范围。以含参不等式左边（x+R）(2x+5)=0的根的大小为主线引入讨论。

首先由整数元素的从属获得问题存在的必要条件，而后立足于必要条件对应的范围进行讨论，这是解决含数元素的集合问题的基本策略。

二、致力于“化生为熟”化生为熟是解题的通用方略，正如一位俄罗斯女数学家所言：解题，就是把“要解的题”转化为“已经解过的题”。而对所给出的具体问题，如何化生为熟？则要根据问题的具体的条件与目标来决定问题转化的手段方向。1、化生为熟之一：转化为二次不等式或整式不等式问题。

二次不等式是我们所熟知的事物，因此，如果问题可转化为二次不等式或整式不等式问题，则解题便胜券在握。

例1.若不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），求a的取值范围。

分析：注意到所给不等式，故想到利用分式不等式的基本变形转化为整式不等式的解集问题。

解：不等式

[（a-1）x+1](x-1)<0[（1-a）x-1](x-1)>0①

解法一:（分类讨论）：由已知不等式解集的形式得：1-a>0且1-a≠1

以下以①式左边多项式的根与1的大小为主线展开讨论：

（1）当0<1-a<1即0

∴由题设条件得（2）当1-a>1，即a<0时

∴由①得或x>1这与题设条件不符于是由（1）、（2）所得a的取值范围为{}

解法二：（利用对一元二次不等式解集的认知）

原不等式[（1-a）x-1](x-1)>0又原不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）

注意到一元二次不等式解集端值必为相应方程的根

∴∴所求a的取值范围为

点评：这里“化生为熟”的手段是“不等式的等价变形”

一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）>0的解集为（-∞，x1）∪(x2,+∞),则必需

（1）a·c>0 （2）x1为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；x2为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；

例2.若不等式的解集为(-3,-1) ∪[2,+ ∞）,求实数a的值

分析:对于这类不等式或比较复杂的分式不等式问题,例2的解题思路能起重要的启示作用.

解:原不等式(x+a)(x2+4x+3) ≥0(x2+4x+3≠0)(x+1)(x+3)(x+a)≥0(x≠-1,且x≠-3)

设f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x≠-3且x≠-1)则原不等式f(x) ≥0

由题设知x=2为方程f(x)=0的根, ∴f(2)=0a=-2∴所求实数a=-2点评：利用一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集与一元二次方程ax2 +bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化。

2、化生为熟之二：转化为集合间的关系问题，

集合既是数学中的原始概念，又是数学问题的基本载体。同样，集合间的关系既是数学理论的基础，又是问题转化的目标，关于两个不等式（或方程）的解的关系问题，向着集合间的关系问题转化，是化生为熟的主要方向之一。