第四章习题解答

习题四解答

1、设已给复数序列{}n z ，如果ζ=+∞

→n n z lim ，其中ζ是一有限复数，那么 证明：由条件知，N ∃>∀,0ε，使得当N n >时，有 2

ε

ζ<-n z

所以

n

z z z n z z z n n )

()()(21

21ζζζζ-++-+-=-+++ 2

11ε

ζ

ζ⋅-+

-++-<

n N n n

z z N 因此存在自然数N 1，当1N n >时，上式第一项小于2

ε，由此解得

εε

εζ=+<-+++2

221n z z z n

故： ζ=++∞

→n

z z n

n 1l i m 2、证明：任何有界的复数序列一定有一收敛的子序列

证明：设复数序列{}n z ，令IR b a ib a z n n n n n ∈+=，，，只要证{}{}n n b a 、各有一收敛子列即可，下证，有界实数列{}n a 有收敛子列。

若数列{}n a 有无限多项相等，设 ====k

n n n a a a 2

1

，显然，常数

数列{}k

n a 是收敛的子数列。

若数列{}n a 没有无限多项相等，则有有界无限点集 {}IN a a E n ∈=

由聚点定理，E 至少有一个聚点ζ，F 证：存在子数列{}k

n a 收敛于ζ，

由聚点定义：

取)1,(11

ζεU a n ←∃=，

取21),2

1,(212

n n U a n <←∃=ζε，

……

取k k n n n k

U a k k

<∈∃=-1)1,(1

，

，ζζ 如此无限下去，构造子数列{}k

n a ，；IN k ∈∀有

k

a k

n 1

<-ζ

当∞→k ，有01→k

，所以ζ=∞

→k

n k a lim 同理有 ζ=∞

→k

n k b 'lim 所以复数列{}n z 有收敛子列{}k

k

k

n n n ib a z '+=且ζi z z k

n k +=∞

→lim 5、试求下列幂级数的收敛半径

（1）n

n n z q ∑+∞

=02

，其中1

=1

!n n z

（3）∑+∞

=0

n n

p z n ，p 为一正整数 （4）[]∑+∞

=-+0

)1(3n n

n

n z （5）n n n

z n

n ∑

+∞

=1! （

6

）

+-++-++-+++++++++

n

z n c c c n n b b b n a a a z c c b b a a z c ab )

1()1(!)1()1()1()1()1(!2)1()1(12 其中c b a ,,为复数，c 不是零或负整数

解：（1）由于0lim lim 2

==∞

→∞

→n

n n n n q q ，所以收敛半径+∞=R

（2）幂级数各项系数为1，所以R=1

（3）由于111lim )1(lim =⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+=+∞→p

p p n n n n 所以R=1 （4）由于[]4)1(3lim )1(3lim =-+=-+∞

→∞→n n n n

n n 所以收敛半径4

1

=R

（5）因为e

n n n n n

n n 1

!)1()!

1(lim 1=+++∞→ 所以e R = （6）因为)

()1()!1()

()1()()1(1n c c c n n b b b n a a a n +++++++=+ α

)

1()1(!)

1()1()1()1(-++-++-++=n c c c n n b b b n a a a n α

所以11

lim =+∞→n

n n αα 故1=R

6、设在R z <内解析是函数)(z f 有Taylor 展式 +++++=n n z z z z f αααα2210)(

试证：（1）令)(max )(20θπ

θi re f r M ≤≤=，我们有 n

n r r M )

(≤

α（柯西不等式） 这里R r n <<=02,1,0

（2）由（1）证明刘维尔定理 （3）当R r <≤0时，

⎰

∑+∞

==π

θ

αθπ

20

22

2

)(21

n n n i r d re f

证明：（1）由于)(z f 在R z <内有Taylor 展式，所以)(z f 在R r z <<内由Cauchy 不等式有：

n

n

r

z n n r r M n r

z f n f )()

2,1,0()

(max !

)

0()

(=

=≤

== α