数值分析参考答案(第一章)

第一章 绪论

1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*

****

r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈

2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()

p xf x C f x = 又

1'()n f x nx -=, 1||n p x nx C n n -⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅

且(*)r e x 为2

((*))0.02n r x n ε∴≈

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯

解：*1 1.1021x =是五位有效数字；

*20.031x =是二位有效数字；

*3385.6x =是四位有效数字；

*456.430x =是五位有效数字；

*57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .

其中****

1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：

*4

1*3

2*13*3

4*1

51

()102

1()102

1()102

1()102

1()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯ ***124***1244333

(1)()

()()()

111101010222

1.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143

(2)()

()()()

1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222

0.215

x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈

**24****24422

*4

33

5(3)(/)()()

110.0311056.430102256.43056.430

10x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343

V R π= 则何种函数的条件数为 23'4343

p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=

又(*)1r V ε=

故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=

⨯≈

6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）

计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？

解：1n n Y Y -=

10099Y Y ∴=

9998Y Y =

9897Y Y =……

10Y Y =

依次代入后，有1000100Y Y =-

即1000Y Y =，

27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-

*310001()()(27.982)102

Y Y εεε-∴=+=⨯ 100Y ∴的误差限为31102

-⨯。

7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。

解：2

5610x x -+=，

故方程的根应为1,228x =

故 1282827.98255.982x =≈+= 1x ∴具有5位有效数字

211280.0178632827.98255.982

x =-=≈=≈+ 2x 具有5位有效数字

8．当N 充分大时，怎样求1

211N N dx x

++⎰

解 1

2

1arctan(1)arctan 1N N dx N N x +=+-+⎰ 设arctan(1),arctan N N αβ=+=。

则tan 1,tan .N N αβ=+=

1

2211arctan(tan())

tan tan arctan 1tan tan 1arctan 1(1)1arctan 1

N N dx

x N N N N

N N αβαβαβαβ

++=-=--=++-=++=++⎰ 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2

1cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x = (*)2*(*)A A x εε∴=.

当*100x =时，若(*)1A ε≤,

则21(*)102x ε-≤⨯ 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm

10．设212

S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：21,02

S gt t => 2(*)(*)S gt t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加

2*2*(*)(*)*

(*)1()2

(*)2r S S S gt t g t t t

εεεε===