奇偶性的应用

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二.思考： 1．奇函数的图象一定过原点吗？ 【提示】 不一定．若0在定义域内，则图
象一定过原点，否则不过原点． 2．由奇(偶)函数图象的对称性，在作函数
图象时你能想到什么简便方法？ 【提示】 若函数具有奇偶性，作函数图象
时可以先画出x>0部分，再根据奇偶函数图象的 对称性画出另一部分图象．
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例3.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式． 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数f(x)是R上的奇函数； ②x>0时f(x)的解析式已知． 解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．
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五.课堂练习： 练习1：已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当
x>0时，f(x)＝2x－3，求函数f(x)的解析式．
【错解】 当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)＝2(－
x)－3
＝－2x－3
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝
2x＋3，
2x－3，x>0
∴所求函数解析式为 f(x)＝2x＋3，x<0
Baidu Nhomakorabea15
练习2：已知函数f(x)对一切实数x,y都有 f(x+y)=f(x)+f(y).⑴求证f(x)是奇函数
⑵若f(-3)=a,试用a表示f(24)
练习3：已知偶函数f(x)在区间[0，+∞）上单调 递增，解不等式f(2x-1)<f( 1 )
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1.3.2函数的奇偶性（二）
函数奇偶性的应用
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一.复习旧知：
1．函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的 任意 一个x， 都有 f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
(2)奇函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的任意 一个x， 都有f_(－__x_)_＝___－__f_(x_)，那么称函数y＝f(x)是奇函数
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【错因】 忽略了定义域为 R 的条件，漏掉 了 x＝0 的情况．
【正解】 同错解得：当 x<0 时，f(x)＝2x ＋3.
∵f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(－0)＝－f(0)， ∴f(0)＝0.
∴ 所 求 函 数 的 解 析 式 为 f(x) ＝
20x，－x3＝，0x>0 . 2x＋3，x<0
(x>0)
x(1＋x) (x<0) 6
此类问题的一般做法是： ①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就 设在哪个区间内． ②要利用已知区间的解析式进行代入． ③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解 出f(x)． 思考.若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x) 是偶函数，且f(0)＝0”，其他条件不变，则函数 f(x)的解析式是什么？
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．
2．奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于 y轴 对称． (2)奇函数的图象关于原点对称．
3．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有 最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且 有 最小值－M.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则 f(x)在(0，＋∞)上是 增函数 ．
例5.若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1] 上单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m的取值范 围．
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【解析】 由 f(x)是偶函数得 f(－x)＝f(x)，即 f(|x|)＝f(x) ∴f(1－m)＝f(|1－m|) f(m)＝f(|m|) ∴f(|1－m|)<f(|m|) 又∵f(x)在[0,1]上单调递减
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【解析】 设 x<0，则－x>0
∴f(x)＝f(－x)＝－x·[1－(－x)] ＝－x·(1＋x)
又 f(0)＝0 ∴函数 f(x)的解析式为
f(x)＝x0(1－(xx＝) 0)
(x>0)
－x·(1＋x) (x<0)
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例4.已知奇函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数 ，且f(x－1)＋f(1－2x)<0，求实数x的取值范围．
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【解析】 (1)当 x＝0 时，由 f(－x)＝－f(x) 得 f(0)＝0；
(2)当 x<0 时，则－x>0 ∴f(－x)＝(－x)·[1－(－x)] 又∵f(－x)＝－f(x) ∴－f(x)＝(－x)·(1＋x) ∴f(x)＝x·(1＋x) ∴函数 f(x)的解析式为：
f(x)＝x0·(1(－x＝x)0)
0≤x≤2 ，即0≤x≤1
x－1<2x－1
x>0
∴0<x≤1.∴x 取值范围是(0,1]．
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解决此类问题时一定要充分利用已知的条件， 把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式 ，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函 数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时 不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
∴－ －11≤ ≤1m－≤m1≤1 |1－m|>|m|
解得 0≤m<12 12
四.课堂小结：
1.例1例2题型根据奇偶函数的图象性质，知道一个区间的图象可以画 出另外一个区间的图象解答 2.求关于奇偶函数的解析式一般做法： ①“求谁设谁”，即在哪个 区间求解析式，x就设在哪个区间内．②要利用已知区间的解析式进 行代入．③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 3.奇偶性与单调性结合的题目：充分利用已知的条件，把已知不等式 转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上 单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不 能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
【思路点拨】 f(x－1)＋f(1－2x)<0―→ f(x－1)<f(2x－1)―→根据单调性
列不等式组―→解得实数x的取值范围
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【解析】 ∵f(x)是奇函数，且在[－1,1]上是 增函数．
由 f(x－1)＋f(1－2x)<0 得 f(x－1)<－f(1－2x) ＝f(2x－1)
∴－ －11≤ ≤x2x－－1≤ 1≤11