线性齐次及非齐次方程的解法

利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y1
1 2
( y1
y2 )
e x cos x
y2
1 2i
( y1
y2)
e
x
sin
x
因此原方程的通解为
y e x (C1 cos x C2 sin x)
21
小结:
y p y q y 0 ( p, q为常数)
特征方程: r 2 pr q 0,
r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
因此原方程通解为
y C1 C2x ex (C3 cos 2x C4 sin 2x )
例4. 解方程 y(5) y(4) 0.
解: 特征方程: r5 r 4 0, 特征根 :
r1 r2 r3 r4 0, r5 1 原方程通解: y C1 C2 x C3x2 C4 x3 C5ex
相关的充分必要条件是w( x)0, xI 。
例 2．判断下列函数是线性相关，还是线性无关？
（1） loga x ， log a x2 ；
解：
∵
loga x loga x2
1 2
(常数) ，
∴loga x 与loga x2 线性相关。
（2）e x ， xe x 。
解:
∵
e x xe x
1 x
常数
，
4
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
5
定义: 设 y1(x), y2 (x), , yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ] Q(x)[C1y1 C2 y2 ]
C1[ y1 P(x) y1 Q(x) y1] C2 [ y2 P(x) y2 Q(x) y2 ] 0 证毕
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解: y C e P (x)d x e P (x)d x Q(x) e P (x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
2
例 1．判定下列方程是否是二阶线性微分方程。
（1） y5 y6 y0 ；
（2） y3 yysinx ；
（3）
2
10
二、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
(1) 当 r1 r2 时, 通解为 y C1 er1 x C 2 er2 x (2) 当 r1 r2 时, 通解为 y (C1 C 2 x ) er1 x
(3) 当 r1,2 i 时, 通解为 y e x (C1 cos x C 2 sin x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
15
求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤：
（1）求二阶线性齐次方程 a( x) ya1( x) ya2( x) y0 的 两个线性无关的特解，得该方程的通解Y C1 y1 C2 y2 。 （2）求二阶线性非齐次方程 a( x) ya1( x) ya2( x) y f ( x) 的一个特解 y ，则二阶线性非齐次方程的通解为 yY y 。
则
y y1( x) y2( x)
为对应的齐次方程①的解。 13
定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程
无关特解, 的通解为
是对应齐次方程的 n 个线性 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
Y (x) y(x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
14
例3. 已知微分方程 y p(x) y q(x) y f (x) 有三 个解 y1 x , y2 ex , y3 e2x , 求此方程满足初始条件 y(0) 1, y(0) 3 的特解 .
23
推广:
y(n) a1 y(n1) an1y an y 0 ( ak 均为常数) 特征方程: r n a1 r n1 an1r an 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
若特征方程含 k 重复根 对应项
则其通解中必含
24
例3.
的通解.
解: 特征方程 r 4 2 r3 5 r 2 0, 特征根:
第十二章
二.常系数非齐次线性微分方程
1、 f (x) e x Pm (x) 型
2、 f (x) e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] 型
31
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2, , n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
推论：若 y1( x)和y2( x) 是二阶线性非齐次方程②的两个解，
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且
y2 y3
y1 y1
ex x e2x x
常数
因而线性无关, 故原方程通解为
y C1(ex x) C2 (e2x x)
代入初始条件 y(0) 1, y(0) 3, 得C1 1, C2 2, 故所求特解为 y 2e2x ex.
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2
d d
s t
s
0
s t0 4 ,
ds dt
t
0 2
解: 特征方程 r 2 2 r 1 0 有重根 r1 r2 1 ,
因此原方程的通解为 s (C1 C2 t ) e t
利用初始条件得
C1 4, C2 2
于是所求初值问题的解为
u 0
取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为 y ( C1 C2 x ) er1 x
20
3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
6
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
线性相关
齐次方程通解 非齐次方程特解
4.4 .1 高阶线性微分方 程解的结构
一、线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构
1
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
为函数 y1( x), y2( x), , ym ( x) 的朗斯基行列式。
结论 若 y1( x), y2( x), , yn( x)为 n 阶 线性齐次方程
a( x) y(n) a1( x) y(n1) an1( x) yan ( x) y0
的 n 个 解 ，则 y1( x), y2( x), , yn ( x) 在区间 I 上线性
f (x) 0 f (x)
(Y P(x)Y Q(x)Y )
11
故 y Y (x) y * (x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 .
证毕
例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
12
定理 4.
28
思考与练习
求方程
的通解 .
答案: a 0 : 通解为 y C1 C2 x
a 0 : 通解为 y C1 cos a x C2 sin a x
a 0 : 通解为 y C1 e a x C2 e a x
29
作业
习 题 六 （P241）
1（2）（4）（5）（7）； 2（2）； 3（1）； 4； 6 (提示：mss(0)kvs,,s(0)0. )。
d2x dt 2
3
dx dt
5
x
0
；
（4） ycos y0 。
解：（1）、（3）是二阶线性微分方程， （2）、（4）不是二阶线性微分方程。
一、线性齐次方程解的结构
定理1. 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
特征根 实根
通
解
y C1er1 x C2er2 x y ( C1 C2 x ) er1 x
y e x (C1 cos x C2 sin x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
22
例1. 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 ,
19
2. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
er1 x [ (u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0
u ( 2 r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
是特征方程的重根
所以令①的解为 y er x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r2 pr q ) er x 0 r2 pr q 0 ②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
1. 当 p2 4 q 0 时, ②有两个相异实根
则微分
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为 y C1 er1 x C2 er2 x
存在不全为 0 的
使
线性无关
y1(x) k2 y2 (x) k1
( 无妨设
k1 0 )
y1 ( x) y2 (x)
常数
7
定义 2
y1( x) 称 w( x) y1 ( x)
y(m1)1( x)
y2( x)
y2 ( x)
y(m1)2( x)
ym ( x) ym ( x)
y(m1)m ( x)
上面结论也适合于一阶线性非齐次方程，还可推广到二阶 以上的线性非齐次方程。
作业
习 题 五 （P230）
1 （1）（3）（5）；
4 ； 6 （2）。
4.4.2 常系数 线性微分方程
第十二章
一、求解常系数线性齐次微分方程 二、求解常系数线性齐次微分方程
18
一、二阶常系数齐次线性微分方程:
①
和它的导数只差常数因子,
(1i )
2
方程通解 :
we
x
2 ( C1 cos
2
x
C2
sin
x)
2
e
x
2 ( C3 cos
2
x
C4
sin
x)
2
26
例6. 解方程 y(4) 2 y y 0 . 解: 特征方程: r 4 2 r 2 1 0
即 (r2 1)2 0
特征根为 则方程通解 :
27
内容小结
y p y q y 0 ( p, q 为常数) 特征根: r1 , r2
(不难看出, 原方程有特解 1, x, x2, x3, ex )
25
例5.
解方程
wk.baidu.com
d4 w dx4
4w
0
(
0 ).
解: 特征方程:
(r2 2)2 2 2r2 0
即 ( r 2 2 r 2 )( r 2 2 r 2 ) 0
其根为
r1, 2
( 1 i ),
2
r3 , 4
∴ e x 与 xe x 线性无关。
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)