第2章 X射线衍射分析原理(方向)剖析
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布拉格方程的导出
（a）同一晶面散射 到达面上光程相同
（b）平行晶面散射 光程差等于波长整数倍
设一束平行的X射线（波长）以 角照射到晶体中晶面指数为（hkl）
的各原子面上，各原子面产生反射。
任选两相邻面（A1与A2），反射线光程差=MB+NB=2dsin ；干涉一 致加强的条件为=n，即
2dsin=n 此即布拉格方程
单一原子面的反射
（5）干涉指数表达的布拉格方程
2 d hkl sin
n 2d HKL sin
（2-2） （2-3）
干涉指数：可以有公约数，当互为质数时，就代表
一族真实的晶面，广义的晶面指数。
10
反射级数n
2d100sin= 2d200sin=
2(d100/2)sin= 2(d/n)sin=
（衍射方向）和强度。 它们与晶体内原子分布规律（晶体结构）密切相关。
3
当相邻两束线之间的光程差等于该波长的整数倍 时,将产生衍射。
衍射方向：晶胞的大小和形状 衍射强度：原子在晶胞中的位置
周期性
结构分析
第一节 衍射方向
1912年劳埃（M. Van. Laue）用X射线照射五水硫酸铜 （CuSO4·5H2O）获得世界上第一张X射线衍射照片，并 由光的干涉条件出发导出描述衍射线空间方位与晶体结构 关系的公式（称劳埃方程）。
式中：n——任意整数，称反射级数，d为（hkl）晶面间距，即dhkl。
8
3.布拉格方程的讨论
（1）描述了“选择反射”的规律：产生“选择反射”的方向 是各原子面反射线干涉一致加强的方向，即满足布拉格方 程的方向。
（2）表达了反射线空间方位（）与反射晶面间距（d） 及入射线方位（）和波长（）的相互关系。
(hkl)的n级反射可以看作是来自 某种虚拟的晶面的1级反射
d100 d200
A1
B1
A2
B2
A1与A2之间的间距为d100 A1与B1之间的间距为d200
（6）衍射产生的必要条件： “选择反射”即反射定律+布 拉格方程。 即当满足此条件时有可能产生衍射；若不满足 此条件，则不可能产生衍射。
布拉格方程的意义:
2d HKL sin
Fra Baidu bibliotek
（1）表达了晶面间距d、衍射方向和X射线波长之间的定量 关系，是晶体结构分析的基本公式。
（2）已知X射线的波长和掠射角，可计算晶面间距d。
（3）已知晶体结构（晶面间距d ），可测定X射线的波长。
反射定律？
晶体对X射线的“选择反射”与对可 见光的反射有什么不同？
12
二、衍射矢量方程
间距（d）相等的原子面组成； ②X射线具有穿透性，可照射到晶体的各个原子面上； ③光源及记录装置至样品的距离比 d 数量级大得多，故入射
线与反射线均可视为平行光。 布拉格将X射线的“选择反射”解释为：
入射的平行光照射到晶体中各平行原子面上，各原子面各 自产生的相互平行的反射线间的干涉作用导致了“选择反 射”的结果。
选择反射：当X射线以某 些角度入射时，记录到 反射线，其它角度入射， 则无反射。
如：以Cu K射线照射
NaCl表面，当=15和 =32时记录到反射线。
设入射线与反射面之夹角为，称掠射角或布拉格角，则 按反射定律，反射线与反射面之夹角也应为。
6
2.布拉格方程的导出
考虑到： ①晶体结构的周期性，可将晶体视为由许多相互平行且晶面
（3）入射线照射各原子面产生的反射线实质是各原子面 产生的反射方向上的相干散射线，而被接收记录的样品反 射线实质是各原子面反射方向上散射线干涉一致加强的结 果，即衍射线。
因此，在材料的衍射分析工作中，“反射”与“衍射”作为同 义词使用。
9
（4）布拉格方程由各原子面散射线干涉条件导出，即视原子面为散射基 元。原子面散射是该原子面上各原子散射相互干涉（叠加）的结果。
随后，布拉格父子（W．H．Bragg与W．L．Bragg）类 比可见光镜面反射安排实验，用X射线照射岩盐（NaCl）， 并依据实验结果导出布拉格方程。
一、布拉格方程 二、衍射线矢量方程 三、厄瓦尔德图解 四、劳埃方程
5
一、布拉格方程
1.布拉格实验
散射角2 ：入射线方向与 散射线方向之间的夹角。
亦为衍射矢量方程
14
三、厄瓦尔德图解
讨论衍射矢量方程的几何图解形式。
晶面反射线单位矢量s
s终点是R*HKL的终点P， 即（HKL）晶面对应的倒 易点
衍射角
反射晶面（HKL）
倒易矢量r*的 倍
第二章 X射线衍射分析原理
第一节 衍射方向 一、布拉格方程 二、衍射线矢量方程 三、厄瓦尔德图解 四、劳埃方程
第二节 衍射强度 X射线衍射强度问题的处理过程 晶胞衍射强度 影响衍射强度的其它因素
1
相干条件：（1）波频率相同；（2）相位差恒定； （3）在 叠加处振动方向相同 。相同的振动方向。由于各点的相位不 同，振幅也不尽相同，相长干涉、相消干涉； 相干波可以是任意一种波（如机械波，电磁波，声波等）。 光的波粒二象性：光是波的一种 ；
什么是衍射?
入射X射线照射晶体—电子受迫振动向四面八方散射，不同 方向散射强度不同—原子中各电子散射波之间相互作用，在 某些方向相消干涉，在某些方向相干加强，形成原子散射 波—晶体中原子散射波之间相互作用，在某些方向相消干涉， 在某些方向相干加强，形成可以检测的散射波。
大量原子参与的散射
衍射的本质：晶体中各原子相干散射波叠加（合成）的结果。 衍射波的两个基本特征：衍射线（束）在空间分布的方位
s-s0//N
s s0
d HKL
由倒易矢量性质可知，（HKL）晶面对应的倒易矢量 r*HKL//N且r*HKL=1/dHKL，引入r*HKL，则上式可写为
(s-s0)/=r*HKL (r*HKL=1/dHKL)
衍射矢量方程
设R*HKL=r*HKL（为入射线波长，可视为比例系数），
则上式可写为
s-s0=R*HKL(R*HKL=/dHKL)
由“反射定律+布拉格方程”表达的衍射必要条件，可用一个 统一的矢量方程式，即衍射矢量方程表达。
反射面（HKL）法线（N）
入射线方向单位矢量s0
反射线方向单位矢量s
衍射矢量 s-s0
反射定律的数学表达式：s-s0//N， s-s0=2sin
故布拉格方程可写为：s-s0=/d
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“反射定律+布拉格方程”可用衍射矢量（s-s0）表示为
布拉格方程的导出
（a）同一晶面散射 到达面上光程相同
（b）平行晶面散射 光程差等于波长整数倍
设一束平行的X射线（波长）以 角照射到晶体中晶面指数为（hkl）
的各原子面上，各原子面产生反射。
任选两相邻面（A1与A2），反射线光程差=MB+NB=2dsin ；干涉一 致加强的条件为=n，即
2dsin=n 此即布拉格方程
单一原子面的反射
（5）干涉指数表达的布拉格方程
2 d hkl sin
n 2d HKL sin
（2-2） （2-3）
干涉指数：可以有公约数，当互为质数时，就代表
一族真实的晶面，广义的晶面指数。
10
反射级数n
2d100sin= 2d200sin=
2(d100/2)sin= 2(d/n)sin=
（衍射方向）和强度。 它们与晶体内原子分布规律（晶体结构）密切相关。
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当相邻两束线之间的光程差等于该波长的整数倍 时,将产生衍射。
衍射方向：晶胞的大小和形状 衍射强度：原子在晶胞中的位置
周期性
结构分析
第一节 衍射方向
1912年劳埃（M. Van. Laue）用X射线照射五水硫酸铜 （CuSO4·5H2O）获得世界上第一张X射线衍射照片，并 由光的干涉条件出发导出描述衍射线空间方位与晶体结构 关系的公式（称劳埃方程）。
式中：n——任意整数，称反射级数，d为（hkl）晶面间距，即dhkl。
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3.布拉格方程的讨论
（1）描述了“选择反射”的规律：产生“选择反射”的方向 是各原子面反射线干涉一致加强的方向，即满足布拉格方 程的方向。
（2）表达了反射线空间方位（）与反射晶面间距（d） 及入射线方位（）和波长（）的相互关系。
(hkl)的n级反射可以看作是来自 某种虚拟的晶面的1级反射
d100 d200
A1
B1
A2
B2
A1与A2之间的间距为d100 A1与B1之间的间距为d200
（6）衍射产生的必要条件： “选择反射”即反射定律+布 拉格方程。 即当满足此条件时有可能产生衍射；若不满足 此条件，则不可能产生衍射。
布拉格方程的意义:
2d HKL sin
Fra Baidu bibliotek
（1）表达了晶面间距d、衍射方向和X射线波长之间的定量 关系，是晶体结构分析的基本公式。
（2）已知X射线的波长和掠射角，可计算晶面间距d。
（3）已知晶体结构（晶面间距d ），可测定X射线的波长。
反射定律？
晶体对X射线的“选择反射”与对可 见光的反射有什么不同？
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二、衍射矢量方程
间距（d）相等的原子面组成； ②X射线具有穿透性，可照射到晶体的各个原子面上； ③光源及记录装置至样品的距离比 d 数量级大得多，故入射
线与反射线均可视为平行光。 布拉格将X射线的“选择反射”解释为：
入射的平行光照射到晶体中各平行原子面上，各原子面各 自产生的相互平行的反射线间的干涉作用导致了“选择反 射”的结果。
选择反射：当X射线以某 些角度入射时，记录到 反射线，其它角度入射， 则无反射。
如：以Cu K射线照射
NaCl表面，当=15和 =32时记录到反射线。
设入射线与反射面之夹角为，称掠射角或布拉格角，则 按反射定律，反射线与反射面之夹角也应为。
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2.布拉格方程的导出
考虑到： ①晶体结构的周期性，可将晶体视为由许多相互平行且晶面
（3）入射线照射各原子面产生的反射线实质是各原子面 产生的反射方向上的相干散射线，而被接收记录的样品反 射线实质是各原子面反射方向上散射线干涉一致加强的结 果，即衍射线。
因此，在材料的衍射分析工作中，“反射”与“衍射”作为同 义词使用。
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（4）布拉格方程由各原子面散射线干涉条件导出，即视原子面为散射基 元。原子面散射是该原子面上各原子散射相互干涉（叠加）的结果。
随后，布拉格父子（W．H．Bragg与W．L．Bragg）类 比可见光镜面反射安排实验，用X射线照射岩盐（NaCl）， 并依据实验结果导出布拉格方程。
一、布拉格方程 二、衍射线矢量方程 三、厄瓦尔德图解 四、劳埃方程
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一、布拉格方程
1.布拉格实验
散射角2 ：入射线方向与 散射线方向之间的夹角。
亦为衍射矢量方程
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三、厄瓦尔德图解
讨论衍射矢量方程的几何图解形式。
晶面反射线单位矢量s
s终点是R*HKL的终点P， 即（HKL）晶面对应的倒 易点
衍射角
反射晶面（HKL）
倒易矢量r*的 倍
第二章 X射线衍射分析原理
第一节 衍射方向 一、布拉格方程 二、衍射线矢量方程 三、厄瓦尔德图解 四、劳埃方程
第二节 衍射强度 X射线衍射强度问题的处理过程 晶胞衍射强度 影响衍射强度的其它因素
1
相干条件：（1）波频率相同；（2）相位差恒定； （3）在 叠加处振动方向相同 。相同的振动方向。由于各点的相位不 同，振幅也不尽相同，相长干涉、相消干涉； 相干波可以是任意一种波（如机械波，电磁波，声波等）。 光的波粒二象性：光是波的一种 ；
什么是衍射?
入射X射线照射晶体—电子受迫振动向四面八方散射，不同 方向散射强度不同—原子中各电子散射波之间相互作用，在 某些方向相消干涉，在某些方向相干加强，形成原子散射 波—晶体中原子散射波之间相互作用，在某些方向相消干涉， 在某些方向相干加强，形成可以检测的散射波。
大量原子参与的散射
衍射的本质：晶体中各原子相干散射波叠加（合成）的结果。 衍射波的两个基本特征：衍射线（束）在空间分布的方位
s-s0//N
s s0
d HKL
由倒易矢量性质可知，（HKL）晶面对应的倒易矢量 r*HKL//N且r*HKL=1/dHKL，引入r*HKL，则上式可写为
(s-s0)/=r*HKL (r*HKL=1/dHKL)
衍射矢量方程
设R*HKL=r*HKL（为入射线波长，可视为比例系数），
则上式可写为
s-s0=R*HKL(R*HKL=/dHKL)
由“反射定律+布拉格方程”表达的衍射必要条件，可用一个 统一的矢量方程式，即衍射矢量方程表达。
反射面（HKL）法线（N）
入射线方向单位矢量s0
反射线方向单位矢量s
衍射矢量 s-s0
反射定律的数学表达式：s-s0//N， s-s0=2sin
故布拉格方程可写为：s-s0=/d
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“反射定律+布拉格方程”可用衍射矢量（s-s0）表示为