线性代数第一次作业
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第1次作业
一. 填空题
1、排列25431的逆序数为 7 ，为 奇 （奇偶）排列；
2、排列217986354的逆序数为 18 为 偶 （奇偶）排列；
3、行列式4
253-= 22 ；
4、设a,b 为实数，则当a= 0 ,b= 0 时10100
---a b b a =0。
二、选择题
1、若44535231a a a a a j i 是五阶行列式中带有正号的一项，则i ，j 的值为：（ C ） （A ）i=1，j=3； (B) i=2，j=3； (C) i=1，j=2； (D) i=2，j=1。
2、下列各项中为某五阶行列式中带有正号的项是：（ D ） （A ）5541324413a a a a a ； （B ）；5415413221a a a a a （C ）5214432531a a a a a ； （D ）5344223115a a a a a 。
三、利用对角线法则计算下列行列式：
1、b
a b a a b a --+2； 2、4
121532
31-；
解：)()2)((b a a b a b a D ---+= 解：1*3*22*1*34*)5(*1++-=D
2
22b ab a -+= 251*1*14*3*32*)5(*2-=----
3、b
a c a c
b
c b a 。
解：222b a c cba bac acb D ---++=
2
223c b a abc ---=
四、解下列方程：
1、4
21x =0； 2、x
x --2111111
11=0。
解：方程左端行列式x D 24-= 解：方程左端行列式 由024=-x ，解得2=x -++--=11)2)(1(x x D
x x x x -=----2
1)2()1( 由02
=-x x ，解得10==x x 或
五、求排列1，3，)2(,,4,2),12(,n n -的逆序数。
解：其n 2个数的排列中，前n 个数之间不构成逆序，第1+n 个位数2与它前面的1-n 个数构成逆序，故它的逆序数是1-n ，同理第2+n 位数4的逆序数是2-n ，以此类推，末尾数n 2的逆序数是0，故此排列的逆序数为： )1(2
1
0)2()1(-=++-+-n n n n
六、选择i 与j 使
1、1274i56j9成偶排列；
2、1i25j4897成奇排列。 解：j i , 只能在3,8中选取。 解：j i , 只能在3,6中选取。
当8,3==j i 时，5127435689=）（
τ 当6,3==j i 时，5132564897=）（τ 故排列为奇排列。 故排列为奇排列。
当3,8==j i 时，10)127485639
(=τ 当3,6==j i 时，8)162534897(=τ 偶排列，故应选3,8==j i 。 偶排列，故应选6,3==j i 。
七、1、写出四阶行列式中带有负号且含有因子23a 和31a 的项；
解：由行列式定义知，所求项为j i a a a a 431231-，并且排列j i 31 为奇排列，因此
j i ,只能在2,4中选择。当4,2==j i 时，2)2314(=τ，偶排列；
当2,4==j i 时，5)4312=τ，奇排列，故所求项为42312314a a a a -。
2、在六阶行列式中，项651456423123a a a a a a ，256651144332a a a a a a 各应带什么符号？
解：因为655642312314651456423123a a a a a a a a a a a a =，而61221)431265
(=+++=τ，偶排列， 所以651456423123a a a a a a 应带“+”
因为665143322514256651144332a a a a a a a a a a a a =，而8422)452316
(=++=τ，偶排列， 所以
256651144332a a a a a a 应带“+”
八、根据行列式定义，计算f(x)=中x
x x x x 1111231
112
12-的系数与34x x .
解：由行列式定义易知4x 项只能是)(x f 右端行列式主对角线上元素之积，即24x ，
故其系数为2，3x 项只能取44132112a a a a ，而1)2134
(=τ，奇排列。即344132112x a a a a -=， 故其系数为-1.
九、（选作题）求排列n(n-1)123⋅⋅ 的逆序数，并确定其奇偶性。
解：此排列首位数n 逆序数为0，第2位1-n 的逆序数为1，…，第1-n 位2的逆序数为1-n ， 故此排列的逆序数为)1(2
1
)1()2(21-=-+-+++n n n n ，且当)(144+∈+=N k k k n 或时偶排列，当)(3424+
∈++=N k k k n 或时，奇排列。